Problème à N corps

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Le problème à N corps consiste à résoudre les équations du mouvement de Newton de $N$ corps interagissant gravitationnellement, connaissant leurs masses ainsi que leurs positions et vitesses initiales.

Il s'agit d'un problème mathématique fondamental pour l'astronomie classique, c'est à dire dans le cas où les effets de la théorie de la relativité générale d'Einstein peuvent être négligés : vitesses des corps petites devant la vitesse de la lumière dans le vide, et champs de gravitation faibles, ce qui est essentiellement le cas dans notre système solaire.

Le problème à N corps se pose également dans le cadre de la relativité générale ; son étude y est encore plus difficile que dans le cadre newtonien.

[modifier] Problème à deux corps

Premier triomphe de la mécanique de Newton, le problème à deux corps, est entièrement soluble analytiquement mouvement keplerien: on dit qu'il s'agit d'un problème intégrable. Tous les étudiants de premier cycle en physique en découvrent un jour les rouages. ^[1]

[modifier] Problème à N corps

En dehors de quelques cas rarissimes où une solution exacte est connue, il faut en général recourir à des méthodes de résolutions approchées. Deux approches sont utilisées :

la théorie des perturbations, qui permet de faire des calculs analytiques approchés sous la forme de développements en série.

l'analyse numérique. En programmation, le problème de la simulation de $N$ corps devrait être théoriquement d'ordre $N 2$ , car toutes les interactions de corps deux à deux devraient être considérées a priori. Des considérations de découpage spatial récursif (Voir: Algorithme de Barnes-Hut) permettent cependant d'arriver à de très correctes approximations en un temps de l'ordre de $N log N$ seulement.

[modifier] Remarque sur le problème à trois corps

Contrairement à une idée répandue, le problème à trois corps possède une solution analytique exacte, découverte par Sundman en 1909 [HE01]. Malheureusement, cette solution se présente sous la forme d'une série infinie qui converge très lentement, ce qui la rend inutile en pratique pour faire des prédictions en un temps raisonnable.

[modifier] Articles liés

[modifier] Bibliographie

[modifier] Initiation

Accessibles à partir du premier cycle universitaire.

Florin Diacu & Philip Holmes ; Celestial Encounters - The Origin of Chaos, Princeton University Press (1996), ISBN : 0-691-00545-1. L'origine du « chaos » moderne se trouve dans les travaux pionniers d'Henri Poincaré réalisés à la fin du XIXe siècle à propos d'un vieux problème de mécanique Newtonienne : le problème à N corps. Les auteurs du présent ouvrage, mathématiciens spécialistes du domaine, retracent élegamment l'histoire de ce problème et de ses développements de Poincaré à nos jours.

Forest R. Moulton ; An intoduction to celestial mechanics, Dover (1970) ISBN : 0-48664-687-4. Réédition de la seconde édition publiée originellement en 1914 ; un ouvrage d'introduction très clair.

Bill Casselman ; The three body problem, Société Américaine de Mathématiques. Quelques solutions exactes du problème à trois corps, des plus anciennes (Euler, Lagrange, Hill) à la plus récente : la chorégraphie en forme de 8 d'Alain Chenciner et al. (2000).

Sverre J. Aarseth ; www.sverre.com. Le site personnel d'un professeur d'astronomie à l'université de Cambridge spécialiste de l'intégration numérique des équations différentielles du problème à N corps. On peut d'ailleurs télécharger ses codes de calcul sur le serveur ftp de l'université de Cambridge, ou encore à partir de cette page web.

[modifier] Textes plus techniques

[modifier] Les modernes

[HE01] Malte Henkel ; Sur la solution de Sundman du probleme des trois corps, Philosophia Scientiae 5 (2) (2001), 161-184. Texte complet disponible sur l'ArXiv : physics/0203001.

Douglas C. Heggie ; The Classical Gravitational N-Body Problem, Encyclopaedia of Mathematical Physics, Elsevier (A paraître : 2006). Texte complet disponible sur l'ArXiv : astro-ph/0503600.

Vladimir I. Arnold, V.V. Kozlov & A.I. Neishtadt ; Mathematical Aspects of Classical and Celestial Mechanics, Encyclopaedia of Mathematical Sciences, Springer-Verlag (2ème édition-1993).

Vladimir I. Arnold ; Mathematical Methods of Classical Mechanics, Springer-Verlag (2ème édition-1989) ISBN : 0-387-96890-3. Une synthèse de l'état de l'art en mécanique analytique (formalismes Lagrangien & Hamiltonien) avec l'accent mis sur l'interprétation géométrique de ces formalismes, par l'un des plus brillants mathématiciens du domaine. A partir du second cycle universitaire.

Carl L. Siegel & Jürgen Moser ; Lectures on celestial mechanics, Classics in Mathematics, Springer-Verlag (1995). Quelques résultats mathématiques sur le problème à trois corps. Niveau second cycle universitaire minimum.

June Barrow-Green ; Poincaré & the three-body problem, History of Mathematics (Vol. 11), American Mathematical Society & London Mathematical Society (1997).

Donald G. Saari ; Collisions, Rings, and Other Newtonian N-Body Problems, CBMS Regional Conference Series in Mathematics 104, American Mathematical Society (2005), ISBN 0-8218-3250-6.

Kenneth R. Meyer, Glen R. Hall ; Introduction to Hamiltonian Dynamical Systems and the N-Body Problem, Applied Mathematical Sciences 90, Springer-Verlag (1991), ISBN 038797637X.

Vladimir I. Arnold & André Avez ; Ergodic Problems of Classical Mechanics, Advanced Book Classics, Pearson Addison Wesley (Mai 1989) ASIN : 0201094061.

[modifier] Les classiques

Pierre-Simon Laplace ; Traité de mécanique céleste, Editions Jacques Gabay (1990). Réédition d'un ouvrage classique de la fin du XIXe siècle, en 4 volumes. Niveau second cycle universitaire.

François-Félix Tisserand ; Traité de mécanique céleste, Editions Jacques Gabay (1990). Réédition d'un ouvrage classique de la fin du XIXe siècle, en 4 volumes. Niveau second cycle universitaire.

Henri Poincaré ; Leçons de mécanique céleste, 3 tomes, (1905-1910), réédité par Jacques Gabay, Paris (2003). Une somme de référence, par le grand mathématicien qui a tant contribué au sujet. Niveau second cycle universitaire.

[modifier] Analyse numérique

Sverre J. Aarseth ; Gravitational N-body Simulations: Tools and Algorithms, Cambridge Monographs on Mathematical Physics, Cambridge University Press (2003), ISBN 0521432723.

A. Marciniak ; Numerical Solutions of the N-Body Problem, Mathematics and its Applications, Springer-Verlag (1989), ISBN 9027720584.

[modifier] Quelques travaux récents

Alain Chenciner & Richard Montgomery ; A remarkable periodic solution of the three-body problem in the case of equal masses, Annals of Mathematics (2) 152 (2000), no. 3, 881--901. Texte complet disponible sur l'ArXiv : math.DS/0011268.

Cristopher Moore & Michael Nauenberg ; New Periodic Orbits for the n-Body Problem, (2005). Texte complet disponible sur l'ArXiv : math.DS/0511219.

C. Duval, G. Gibbons & P. Horvathy ; Celestial Mechanics, Conformal Structures, and Gravitational Waves, Physical Review D 43 (1991), 3907. Texte complet disponible sur l'ArXiv : hep-th/0512188.