Распределение Пуассона

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

**Распределение Пуассона**
Функция вероятности
Функция распределения
Параметры	$\lambda \in (0,\infty)$
Носитель	$k \in \{0,1,2,\ldots\}$
Функция вероятности	$\frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}\!$
Функция распределения	$\frac{\Gamma(k+1, \lambda)}{k!}\!$
Математическое ожидание	$\lambda\,$
Медиана	N/A
Мода	$\lfloor\lambda\rfloor$
Дисперсия	$\lambda\,$
Коэффициент асимметрии	$\lambda^{-1/2}\,$
Коэффициент эксцесса	$\lambda^{-1}\,$
Информационная энтропия	$\lambda[1\!-\!\ln(\lambda)]\!+\!e^{-\lambda}\sum_{k=0}^\infty \frac{\lambda^k\ln(k!)}{k!}$
Производящая функция моментов	$\exp(\lambda (e^t-1))\,$
Характеристическая функция	$\exp(\lambda (e^{it}-1))\,$

Распределе́ние Пуассо́на моделирует случайную величину, равную числу событий, произошедших за фиксированное время, при условии, что данные события происходят с некоторой фиксированной средней интенсивностью и независимо друг от друга.

[править] Определение

Выберем фиксированное число $λ > 0$ и определим дискретное распределение, задаваемое следующей функцией вероятности:

$p(k) \equiv \mathbb{P}(Y=k) = \frac{\lambda^k}{k!}\, e^{-\lambda}$ ,

где

$k!$ обозначает факториал,
$e = 2.718281828\ldots$ — основание натурального логарифма.

Тот факт, что случайная величина $Y$ имеет распределение Пуассона с параметром $λ$ , записывается: $Y ˜P(λ)$ .

[править] Замечание

Параметр $λ$ часто называется интенсивностью (см. Биномиальное приближение).
Функция $p (k)$ , введённая выше, действительно является функцией вероятности, что следует из разложения экспоненты в ряд Тейлора:

$e^{\lambda} = \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda^k}{k!},\; \forall \lambda \in \mathbb{R}$ ,

откуда

$\sum\limits_{k=0}^{\infty} p(k) = 1$ .

[править] Моменты

Производящая функция моментов распределения Пуассона имеет вид:

$M_Y(t) = e^{\lambda \left(e^t -1\right)}$ ,

откуда

$\mathbb{E}[Y] = \lambda$ ,

D[Y] = λ

[править] Свойства распределения Пуассона

Сумма пуассоновских случайных величин так же имеет распределение Пуассона. Пусть $Y_i \sim \mathrm{P}(\lambda_i),\; i=1,\ldots,n$ . Тогда

$Y = \sum\limits_{i=1}^n Y_i \sim \mathrm{P}\left(\sum\limits_{i=1}^n \lambda_i\right)$ .

Пусть $Y_i \sim \mathrm{P}(\lambda_i),\; i=1,2$ , и $Y = Y 1 + Y 2$ . Тогда условное распределение $Y 1$ при условии, что $Y = y$ , биномиально. Более точно:

$Y_1\mid Y = y \sim \mathrm{Bin}\left(y, \frac{\lambda_1}{\lambda_1+\lambda_2}\right)$ .

[править] См. также

	Вероятностные распределения
	Одномерные	Многомерные
Дискретные:	Бернулли \| биномиальное \| геометрическое \| гипергеометрическое \| логарифмическое \| отрицательное биномиальное \| Пуассона \| равномерное	мультиномиальное
Абсолютно непрерывные:	Бета \| Вейбулла \| Гамма \| Колмогорова \| Коши \| логнормальное \| Лоренца \| нормальное \| равномерное \| Парето \| Стьюдента \| Фишера \| хи-квадрат \| экспоненциальное \| Эрланга	многомерное нормальное