Distribución de Poisson

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En teoría de probabilidad y estadística, la distribución de Poisson es una distribución de probabilidad discreta. Expresa la probabilidad de un número de eventos ocurriendo en un tiempo fijo si estos eventos ocurren con una tasa media conocida, y son independientes del tiempo desde el último evento.

La distribución fue descubierta por Siméon-Denis Poisson (1781–1840) que publicó, junto con su teoría de probabilidad, en 1838 en su trabajo Recherches sur la probabilité des jugements en matières criminelles et matière civile [Investigación sobre la probabilidad de los juicios en materias criminales y civiles].

Su distribución de probabilidad está dada por:

$f(k;\lambda)=\frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!},\,\!$

donde

e es el base del logaritmo natural (e = 2.71828...),
k! es el factorial de k,
λ es un número real positivo, equivalente al número esperado de ocurrencias durante un intervalo dado. Por ejemplo, si los eventos ocurren de media cada 4 minutos, y se está interesado en el número de eventos ocurriendo en un intervalo de 10 minutos, se usaría como modelo una distribución de Poisson con λ = 2.5.

Por ejemplo, si 2% de los libros encuadernados en cierto taller tiene encuadernación defectuosa, obtener la probabilidad de que 5 de 400 libros encuadernados en este taller tengan encuadernaciones defectuosas. $\!k = 5, \lambda = 400(0.02) = 8$

$\!P(5;8)= \frac{8^5e^{-8}}{5!}=0.092$

Su media y su varianza son:

$\!\mu = \lambda$

$\!\sigma^2 = \lambda$

[editar] Propiedades Reproductivas

Dadas n variables aleatorias $X i$ , tales que:

todas tienen una distribución de Poisson
cada una tiene su propio parámetro $λ i$ (es decir, los lambda no necesariamente tienen que ser iguales)
son todas independientes entre sí
se toma la variable aleatoria $Y = \sum^{n}_{i = 1} X_i$
se toma $\lambda_Y = \sum^{n}_{i = 1} \lambda_i$

Entonces:

La variable aleatoria Y tiene una distribución Poisson, con parámetro $λ Y$

Es decir:

Dadas n variables de Poisson cualesquiera independientes, su suma es también una variable de Poisson, cuyo parámetro vale la suma de los parámetros de las variables originales.