Poissonovo rozdělení

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Poissonovo rozdělení pravděpodobnosti má náhodná veličina, která vyjadřuje počet výskytů málo pravděpodobných, řídkých jevů v určitém časovém, resp. objemovém intervalu.

Poissonovo rozdělení bývá označováno jako rozdělení řídkých jevů, neboť se podle něj řídí četnosti jevů, které mají velmi malou pravděpodobnost výskytu. Poissonovo rozdělení se používá k aproximaci binomického rozdělení pro velký počet pokusů, tzn. $n\to\infty$ a malou pravděpodobnost výskytu sledovaného jevu v jednom pokusu, tzn. $p\to\infty$ . Obvykle můžeme binomické rozdělení aproximovat Poissonovým tehdy, pokud $n > 30$ a $p\leq \frac{1}{10}$ . V takovém případě je $λ = n p$ . Velký význam má poissonovo rozdělení v teorii hromadné obsluhy, kde popisuje takové náhodné jevy jako je příchod zákazníka nebo doba obsluhy.

[editovat] Rozdělení pravděpodobnosti

Poissonovo rozdělení pravděpodobnosti lze pro všechny hodnoty $x = 0,1,2,...$ náhodné veličiny $X$ vyjádřit pomocí parametru $λ > 0$ jako

$P[X=x] = \frac{\lambda^x}{x!}\mathrm{e}^{-\lambda}$

[editovat] Charakteristiky rozdělení

Poissonovo rozdělení lze také popsat některými charakteristikami.

Střední hodnota Poissonova rozdělení je

$\operatorname{E}(X)=\lambda$

Rozptyl má hodnotu

σ 2 (X) = λ

Pro koeficient šikmosti dostaneme

$\gamma_1 = \frac{1}{\sqrt{\lambda}}$

Hodnota koeficientu špičatosti je

$\gamma_2 = \frac{1}{\lambda}$

Momentová vytvořující funkce Poissonova rozdělení má tvar

$m(z) = \mathrm{e}^{\lambda(\mathrm{e}^z - 1)}$

[editovat] Vícerozměrné Poissonovo rozdělení

Vícerozměrné Poissonovo rozdělení je rozdělení náhodného vektoru $X$ , jehož složky $X i$ pro $i = 1,2,..., n$ mají Poissonovo rozdělení s parametry $λ i$ . Sdruženou pravděpodobnost vícerozměrného Poissonova rozdělení lze vyjádřit jako

$P(x_1,x_2,...,x_n) = \left\{\begin{matrix} \mathrm{e}^{-\sum_{i=1}^n \lambda_i} \frac{\lambda_1^{x_1} \lambda_2^{x_2}\cdots \lambda_n^{x_n}}{x_1! x_2! \cdots x_n!} & \mbox{ pro } x_i =1,2,..., \; \lambda_i>0 \\ 0 & \mbox{ jinak }\end{matrix}\right.$