Постоянная Капрекара

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Постоянная Капрекара — число, равное 6174.

Число 6174 имеет следующую особенность. Выберем любое четырехзначное число n, в котором не все цифры одинаковы (всюду предполагается использование десятичной системы счисления, если не оговорено иное). Расположим цифры сначала в порядке убывания, затем, переставив их в обратном порядке, получим новое число. Вычтем последнее число из числа, в котором цифры расположены в порядке убывания, полученную разность назовём функцией Капрекара K(n). Повторяя этот процесс с получающимися разностями, не более чем за семь шагов получим число 6174, которое будет затем воспроизводить само себя. Производя перестановки цифр и вычитания, нули следует сохранять. Например, для числа 3412:

4321 − 1234 = 3087 →

8730 − 378 = 8352 →

8532 − 2358 = 6174;

для числа 1010:

1100 − 11 = 1089 →

9810 − 189 = 9621 →

9621 − 1269 = 8352 →

8532 − 2358 = 6174.

Постоянная была открыта в 1949 году индийским математиком Д. Р. Капрекаром, в честь которого и получила своё название.

Среди трёхзначных чисел аналогичным свойством обладает 495 (процедура сходится к нему максимум через шесть итераций для любого 3-значного числа без повторяющихся цифр). Для чисел с бо́льшим, чем 4, числом знаков, преобразование Капрекара в большинстве случаев рано или поздно приводит к циклическим повторениям чисел, но не к неподвижной точке n = K(n). Для 5-значных чисел неподвижной точки не существует. Имеется два шестизначных числа, являющихся неподвижными точками преобразования Капрекара (549 945 и 631 764), семизначных чисел с таким свойством нет.

Легко доказать непосредственной проверкой, что любое число вида 633…331766…664 (где количество цифр в последовательностях шестёрок и троек одинаково) является неподвижной точкой n = K(n). Сама постоянная Капрекара тоже является числом этого вида. Однако не любая неподвижная точка может быть записана в таком виде.