Desigualdade de Jensen
Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
Sinta-se livre para editá-la para que esta possa atingir um nível de qualidade superior.
Índice |
[editar] Funções Convexas
Funções convexas são funções cujo gráfico está abaixo ou sobre qualquer corda traçada entre seus pontos na região entre esses pontos. Isso é equivalente a dizer que o gráfico está sobre qualquer tangente a um de seus pontos. Aqui consideraremos uma noção mais fraca de tangente do que aquela dada pela derivada. Chamaremos tangente qualquer reta que intercepte o gráfico em um determinado ponto tal que existe uma vizinhança daquele ponto na qual não há pontos da reta sobre o gráfico ou não há pontos da reta sob o gráfico.
Formalmente:
, para t [0,1]
[editar] A Desigualdade
[editar] Teorema
Seja f uma função convexa e p uma função de densidade de probabilidade associada à uma variável aleatória x. Nesse caso:
[editar] Demonstração
Tomaremos uma tangente ao gráfico no ponto E(x). Esta é uma reta que intercepta o gráfico no ponto (E(x), f(E(X)) e possui inclinação λ para algum .
, pela convexidade.
Multiplicando ambos os lados da desigualdade pela função não negativa p(x):
Integrando ambos os lados com relação à variável aleatória x:
Mas, , e , logo: