Jensenin epäyhtälö

Wikipedia

Matematiikassa Jensenin epäyhtälöllä, nimetty tanskalaisen matemaatikko Johan Jensenin mukaan, voidaan arvioidan konveksin funktion integraaleja.

Sisällysluettelo

1 Äärellinen muoto
2 Yleinen väittämä
- 2.1 Mittateoreettinen muotoilu
- 2.2 Todennäköisyysteoreettinen muotoilu
3 Todistus
4 Viitteet
5 Aiheesta muualla

[muokkaa] Äärellinen muoto

Reaaliselle jatkuvalle konveksille funktiolle φ ja positiivisille painokertoimille a_i on voimassa

$\varphi\left(\frac{\sum a_{i} x_{i}}{\sum a_{i}}\right) \le \frac{\sum a_{i} \varphi (x_{i})}{\sum a_{i}}$

Epäyhtälö on käännettävä jos φ on konkaavi.

Jos a_i=1, on

$\varphi\left(\frac{\sum x_{i}}{n}\right) \le \frac{\sum \varphi (x_{i})}{n}$

Funktio log(x) on konkaavi, joten sijoittamalla φ(x) = log(x) saadaan aritmeettis-geometrinen epäyhtälö:

$\frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} \ge \sqrt[n]{x_1 x_2 \cdots x_n}.$

[muokkaa] Yleinen väittämä

Epäyhtälö voidaan kirjoittaa myös yleisemmässä myodossa mittateorian avulla. Se voidaan ilmaista myös todennäköisyysteorian avulla. Nämä väittämät ovat yhtäpitäviä.

[muokkaa] Mittateoreettinen muotoilu

Olkoon (Ω,A,μ) mitta-avaruus siten, että μ(Ω) = 1. Jos g on reaaliarvoinen μ-integroituva ja jos φ on konveksi joukossa g, on voimassa

$\varphi\left(\int_{\Omega} g\, d\mu\right) \le \int_\Omega \varphi \circ g\, d\mu.$

[muokkaa] Todennäköisyysteoreettinen muotoilu

Todennäköisyysteorian terminologialla μ on todennäköisyysmitta. Funktio g korvataan reaaliarvoisella satunnaismuuttujalla X. Tällöin jokainen integraali Ω:ssa todennäköisyysmitan μ suhteen voidaan tulkita odotusarvoksi. Tällöin, jos φ on konveksi funktio, on

$\varphi\left(\Bbb{E}\{X\}\right) \leq \Bbb{E}\{\varphi(X)\}.\,$

[muokkaa] Todistus

Olkoon g μ-integroituva funktio mitta-avaruudessa Ω ja olkoon φ konveksi funktio g:n määrittelyjoukossa. Määritellään φ:n oikeanpuoleinen derivaatta x:ssä asettamalla

$\varphi^\prime(x):=\lim_{t\to0^-}\frac{\varphi(x+t)-\varphi(x)}{t}$

Koska φ on konveksi, oikean puolen osamäärä on vähenevä kun t lähestyy nollaa oikealta. Osamäärä on myös alhaalta rajoitettu: sitä rajoittavat termit muotoa

$\frac{\varphi(x+t)-\varphi(x)}{t},$