Disuguaglianza di Jensen
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La disuguaglianza di Jensen, dal nome del matematico danese Johan Jensen, è una disuguaglianza che lega il valore di una funzione convessa al valore della medesima funzione calcolata nel valor medio del suo argomento. Essa è stata enunciata e dimostrata da Jensen nel 1906[1]. La disuguagliaza di Jensen può essere introdotta in diversi contesti e con diversi gradi di generalità, i più rilevanti dei quali sono presentati nel seguito.
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[modifica] Enunciati
La forma più elementare della disuguaglianza di Jensen può essere enunciata come media pesata di un numero finito di numeri reali. Essa può essere ampiamente generalizzata nel contesto della teoria della misura, e trova la sua forma più naturale e potente nel formalismo della teoria della probabilità.
Nel seguito si forniscono prima gli enunciati della disuguaglianza(partendo dai più semplici fino ad arrivare a quelli più generali), e quindi le dimostrazioni degli stessi.
Ricordiamo che se è una funzione convessa, allora è concava, e pertanto delle disuguaglianze analoghe a quelle riportate sotto possono essere ottenute per funzioni concava, a patto di invertire il verso delle disuguaglianze stesse.
[modifica] Forma discreta
Sia n un intero positivo. Per una funzione convessa a valori reali , e per dei numeri reali nel dominio di , e per dei pesi positivi , la disuguaglianza di Jensen afferma:
In particolare, se i pesi ai sono tutti uguali ad 1:
[modifica] La disuguaglianza nella notazione della teoria della misura
Nelle precedenti formule, è naturale chiedersi se è possibile effettuare una sorta di passaggio al continuo. La risposta è affermativa, e la disuguaglianza di Jensen può essere generalizzata come segue.
Sia uno spazio di misura, tale che μ(Ω) = 1. Se g è una funzione integrabile da Ω a valori reali, e è una funzione convessa sull'immagine di g, allora:
[modifica] La disuguaglianza nella notazione della teoria della probabilità
Lo stesso risultato può più naturalmente essere enunciato nel contesto della teoria della probabilità. Sia uno spazio di probabilità, X una variabile aleatoria integrabile a valori reali, e una funzione convessa. Allora:
In questa notazione probabilistica, la misura μ va appunto intesa come una probabilità , e l'integrale rispetto a μ come un valore atteso , e la funzione g come una variabile aleatoria X.
[modifica] La disuguaglianza generale nella teoria della probabilità
Più in generale, sia T uno spazio vettoriale topologico, ed X una variabile aleatoria integrabile a valori in T. In questo contesto generale, integrabile significa che per ogni elemento z nel duale di T accade , e che esiste un elemento in T tale che . Allora, per ogni funzione convessa misurabile su T, e per ogni sub-σ-algebra di :
Qui indica l'attesa condizionata rispetto alla σ-algebra . Questo enunciato più generale si riduce al precedente quando lo spazio topologico vettoriale T è rimpiazzato dall'asse reale, e dalla σ-algebra banale .
[modifica] Applicazioni
[modifica] Media aritmetica e geometrica
La funzione log(x) è concava, utilizzando in questo caso la disuguaglianza di Jensen essa si riduce alla disuguaglianza della media aritmetica e della media geometrica.
[modifica] Problema
Sapendo che x,y > 0 e che x + y = 1 verificare la disuguaglianza
Si osserva che la funzione
è convessa, in quanto la sua seconda derivata è sempre positiva per ogni z positivo, per cui si ha
quindi
[modifica] Collegamenti esterni
- disuguaglianza di Jensen su MathWorld
- La disuguaglianza di Jensen funge da logo per il Dipartimento di Matematica della Università di Copenhagen
[modifica] Note
- ↑ Jensen, J. Sur les fonctions convexes et les inégalités entre les valeurs moyennes.