Zbiór rzutowy

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Zbiory rzutowe - podzbiory przestrzeni polskiej które mogą być otrzymane ze zbiorów borelowskich przy użyciu skończenie wielu operacji ciągłych obrazów i dopełnienia.

Zbiory rzutowe były wprowadzone niezależnie w latach 20. XX wieku przez rosyjskiego matematyka Nikołaja Łuzina^[1]^[2]^[3] i polskiego matematyka Wacława Sierpińskiego^[4].

[edytuj] Hierarchia zbiorów rzutowych

Niech ${\mathcal N}$ oznacza przestrzeń Baire'a (jest to przestrzeń homeomorficzna z przestrzenią liczb niewymiernych). Przez indukcję po liczbach naturalnych $n\in {\mathbb N}$ dla każdej przestrzeni polskiej X definiujemy klasy Łuzina $\Sigma^1_n(X)$ i klasy dualne $\Pi^1_n(X)$

$\Sigma^1_1(X)$ jest rodziną tych wszystkich podzbiorów A przestrzeni X, że dla pewnego zbioru borelowskiego $B\subseteq X\times{\mathcal N}$ mamy $A=\{x\in X:(\exists r\in {\mathcal N})((x,r)\in B)\}$ ,
$\Pi^1_1(X)$ jest rodziną tych podzbiorów A przestrzeni X, że $X\setminus A\in \Sigma^1_1(X)$ ,
$\Sigma^1_{n+1}(X)$ jest rodziną tych podzbiorów A przestrzeni X, że dla pewnego $B\in\Pi^1_n(X\times{\mathcal N})$ mamy $A=\{x\in X:(\exists r\in {\mathcal N})((x,r)\in B)\}$ ,
$\Pi^1_{n+1}(X)$ jest rodziną tych podzbiorów A przestrzeni X, że $X\setminus A\in \Sigma^1_{n+1}(X)$ .

Definiujemy również $\Delta^1_n(X)=\Sigma^1_n(X)\cap \Pi^1_n(X)$ .

Jeśli wiadomo w jakiej przestrzeni polskiej pracujemy (albo jeśli nie jest to istotne), to piszemy $\Sigma^1_n,\Pi^1_n,\Delta^1_n$ (zamiast $\Sigma^1_n(X),\Pi^1_n(X),\Delta^1_n(X)$ ). Elementy tych klas noszą wspólną nazwę zbiorów rzutowych.

Głównie w starszych podręcznikach topologii i teorii mnogości dla początkowych klas rzutowych używa się następującej terminologii:

elementy klasy $\Sigma^1_1$ nazywane są zbiorami analitycznymi, a zbiory z $\Pi^1_1$ są określane jako zbiory koanalityczne; czasami te klasy zbiorów oznacza się A i CA,
klasy $\Sigma^1_2$ i $\Pi^1_2$ oznaczane są też przez PCA i CPCA, etc.

[edytuj] Przykładowe własności

Poniżej przedstawiamy tylko parę przykładowych własności klas rzutowych. Teoria tych klas jest bardzo rozbudowana i zainteresowany czytelnik może bliżej zapoznać się z nią czytając np monografię Yiannisa Moschovakisa^[5] lub książkę Tomka Bartoszyńskiego i Haima Judaha^[6].

Niech X będzie przestrzenią polską.

Zachodzą następujące inkluzje (gdzie " $\subseteq$ " jest reprezentowane przez strzałkę " $\longrightarrow$ "):

$\Sigma^1_1$

$\Sigma^1_2$

$\ldots$

$\Sigma^1_n$

$\Sigma^1_{n+1}$

$\ldots$

$\nearrow$

$\searrow$

$\nearrow$

$\searrow$

$\nearrow$

$\searrow$

$\nearrow$

$\Delta^1_1$

$\Delta^1_2$

$\Delta^1_3$

$\ldots$

$\Delta^1_n$

$\Delta^1_{n+1}$

$\searrow$

$\nearrow$

$\searrow$

$\nearrow$

$\searrow$

$\nearrow$

$\searrow$

$\Pi^1_1$

$\Pi^1_2$

$\ldots$

$\Pi^1_n$

$\Pi^1_{n+1}$

$\ldots$

$\Delta^1_1$ jest rodziną wszystkich borelowskich podzbiorów przestrzeni X.
Każda klasa Łuzina $\Sigma^1_n$ jest zamknięta na przeliczalne sumy i przekroje i podobnie dla klas dualnych $\Pi^1_n$ ^[7].
Każda klasa $\Delta^1_n$ jest σ-ciałem zbiorów.
Jeśli Y jest przestrzenią polską, $f:X\longrightarrow Y$ jest funkcją ciągłą oraz $A\in \Sigma^1_n(X)$ , to $f(A)\in\Sigma^1_n(Y)$ .
Jeśli Y jest przestrzenią polską, $f:X\longrightarrow Y$ jest funkcją ciągłą oraz $B\in \Sigma^1_n(Y)$ ( $B\in \Pi^1_n(Y)$ ), to także $f^{-1}(B)\in\Sigma^1_n(Y)$ ( $f^{-1}(B)\in\Pi^1_n(Y)$ ).
Wszystkie zbiory z $\Sigma^1_1\cup \Pi^1_1$ mają własność Baire'a.
Wszystkie zbiory z $\Sigma^1_1({\mathbb R})\cup \Pi^1_1({\mathbb R})$ są mierzalne w sensie miary Lebesgue'a.
Jeśli założymy MA oraz ¬CH, to wówczas wszystkie zbiory z $\Sigma^1_2\cup \Pi^1_2$ są mierzalne i mają własność Baire'a.
Jeśli założymy aksjomat konstruowalności, to

(a) istnieje $\Sigma^1_2$ -dobre uporządkowanie prostej rzeczywistej,

(b) istnieje $\Delta^1_2$ -podzbiór prostej który nie jest mierzalny w sensie Lebesgue'a i który nie ma własności Baire'a,

Jeśli istnieje liczba nieosiągalna, to istnieje model teorii mnogości w którym wszystkie rzutowe podzbiory prostej są mierzalne w sensie Lebesgue'a.^[8].
Można zbudować pojęcie forsingu które forsuje że wszystkie zbiory rzutowe mają własność Baire'a, ale mierzalność wszystkich zbiorów klasy $\Sigma^1_3$ implikuje, że $ω 1$ jest liczbą nieosiagalną w uniwersum zbiorów konstruowalnych (Kurta Gödla)^[9].
Jeśli istnieje liczba mierzalna, to wszystkie gry nieskończone na zbiory z $\Sigma^1_1({\mathcal N})$ są zdeterminowane^[10]. Przy założeniu istnienia znacznie większych dużych liczb kardynalnych można wykazać, że gry na zbiory z wyższych klas rzutowych też są zdeterminowane^[11]^[12].

[edytuj] Bibliografia

↑ Lusin, N.: Sur un problème de M. Emile Borel et les ensembles projectifs de M. Henri Lebesgue; les ensembles analytiques, "Comptes Rendus Acad. Sci. Paris" 180 (1925), 1318-1320.
↑ Lusin, N.: Sur les ensembles projectifs de M. Henri Lebesgue, "Comptes Rendus Acad. Sci. Paris" 180 (1925), 1572-1575.
↑ Lusin, N.: Les propriétés des ensembles projectifs, "Comptes Rendus Acad. Sci. Paris" 188 (1925), 1817-1819.
↑ Sierpiński, W.: Sur une classe d'ensembles, "Fundamenta Mathematicae" 7 (1925), 237-243.
↑ Moschovakis, Yiannis N.: Descriptive set theory. "Studies in Logic and the Foundations of Mathematics", 100. North-Holland Publishing Co., Amsterdam-New York, 1980. ISBN 0-444-85305-7.
↑ Bartoszyński, Tomek; Judah, Haim: Set theory. On the structure of the real line. A K Peters, Ltd., Wellesley, MA, 1995. ISBN 1-56881-044-X
↑ Sierpiński, W.: Sur les produits des images continues des ensembles C(A), "Fundamenta Mathematicae" 11 (1928), 123-126.
↑ Solovay, Robert M.: A model of set-theory in which every set of reals is Lebesgue measurable. "Ann. of Math." 92 (1970) 1-56
↑ Shelah, Saharon: Can you take Solovay's inaccessible away? "Israel J. Math." 48 (1984), s. 1-47
↑ Martin, Donald A.: Measurable cardinals and analytic games. "Fund. Math." 66 (1969/1970), s. 287-291.
↑ Woodin, W. Hugh: Supercompact cardinals, sets of reals, and weakly homogeneous trees. "Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A." 85 (1988), s. 6587-6591.
↑ Martin, Donald A., Steel, John R.: A proof of projective determinacy. "J. Amer. Math. Soc." 2 (1989), s. 1, 71-125.