Homeomorfizm
Z Wikipedii
Homeomorfizm – ciągła funkcja wzajemnie jednoznaczna z jednej przestrzeni topologicznej w drugą będąca otwartą (lub równoważnie domkniętą)
Spis treści |
[edytuj] Intuicje
Dwie przestrzenie topologiczne są homeomorficzne (czyli istnieje między nimi homeomorfizm) są w topologii uważane za obiekt jednej klasy (por. klasa abstrakcji). Topologia bada niezmienniki homeomorfizmów, czyli te własności przestrzeni topologicznych, które są zachowywane przy przekształceniach homeomorficznych. Z tego względu wspomniane niezmienniki homeomorfizmów nazywane są również niezmiennikami topologicznymi.
W przestrzeniach euklidesowych (takich jak prosta, płaszczyzna, czy przestrzeń trójwymiarowa z metryką euklidesową) o homeomorfizmie można myśleć jako o przekształceniu, które pozwala na dowolne rozciąganie, wyginanie, skręcanie obiektu, jednak zabrania robienia w nim "dziur", rozrywania go, czy też sklejania.
[edytuj] Definicja formalna
Funkcję przestrzeni topologicznej (X,τX) w przestrzeń topologiczną (Y,τY) jest homeomorfizmem, gdy:
- f jest funkcją różnowartościową,
- f(X) = Y, czyli f jest funkcją "na",
- oba przekształcenia f oraz
są ciągłe.
[edytuj] Własności
- Złożenie homeomorfizmów jest homeomorfizmem.
[edytuj] Przykłady
- W poniższym przykładzie litery i cyfry w każdej grupie są homeomorficzne, symbole z różnych grup homeomorficzne nie są (A jest homeomorficzne tylko z R, B tylko z 8 i tak dalej).
- Zauważmy, że wszystkie litery znajdujące się w trzeciej grupie powstały przez zwykłe wygięcie odcinka (por. krzywa).
- Podobnie okrąg jest homeomorficzny z kwadratem lub trójkątem, lecz nie z odcinkiem.
- Analogicznie odcinek otwarty (bez końców) jest homeomorficzny z całą prostą. W tym przypadku łatwo wskazać odpowiedni homeomorfizm
na przedział ( − 1,1), po czym pozostaje odpowiednie jego umieszczenie na osi za pomocą przekształcenia afinicznego, będącego również homeomorfizmem.
[edytuj] Sprzężenie topologiczne homeomorfizmu
Dwa homeomorfizmy nazwiemy topologicznie sprzężonymi wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taki homeomorfizm
, nazywany homeomorfizmem sprzęgającym, że