Forsing

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Forsing (ang. forcing) – metoda dowodzenia niesprzeczności i niezależności zdań teorii mnogości względem aksjomatów Zermelo-Fraenkela.

Można powiedzieć, że forsing to jedna z metod używanych w matematyce, aby ściśle udowodnić że pewnych stwierdzeń nie można udowodnić ani obalić (ten ostatni termin oznacza udowodnienie zaprzeczenia).

Należy zauważyć, że polska terminologia w teorii forsingu nie jest jednoznacznie ustalona, chociaż polskojęzyczni matematycy mieli (i mają) bardzo poważny wkład w rozwój tej teorii. Angielskie zwroty forcing i forcing relation są spolszczane do forsing, forcing, wymuszanie oraz relacja forsingu, relacja forcingu lub relacja wymuszania. W tym artykule zastosowano fonetyczną interpretację nazewnictwa angielskiego.

Spis treści

1 Rys historyczny
2 Dlaczego forsing działa: modele booleowskie
3 Jak forsing jest używany: roszerzenia modeli ZFC
- 3.1 Rozszerzenia generyczne
- 3.2 Pojęcia forsingu
4 Przykłady zastosowań forsingu
5 Aksjomaty forsingowe
- 5.1 Definicje
- 5.2 Uwagi
6 Bibliografia
7 Zobacz też

[edytuj] Rys historyczny

Metoda forsingu została odkryta przez Paula Cohena w 1963/64^[1]^[2]^[3]^[4]. Pierwszym jej zastosowaniem był dowód, że zarówno aksjomat wyboru, jak i hipoteza continuum, są niezależne od aksjomatów ZF.

Oryginalna metoda użyta przez Cohena była dużo bardziej skomplikowana, niż forsing używany dzisiaj. Rozwój współczesnego forsingu (tzw. unramified forcing) datuje się od pracy Josepha Shoenfielda^[5].

Około roku 1965 amerykańscy matematycy Robert Solovay i Stanley Tennenbaum rozwinęli metodę forsingu wprowadzając forsing iterowany, aby udowodnić niezależność hipotezy Suslina^[6]. We współczesnej terminologii metoda wprowadzona przez Solovaya i Tennenbauma to forsing iterowany z nośnikami skończonymi.

W 1976 amerykański matematyk Richard Laver stosuje metodę forsingu iterowanego z nośnikami przeliczalnymi, aby wykazać niesprzeczność hipotezy Borela^[7].

W okresie 1976-1978, Saharon Shelah rozwija teorię forsingów proper (ang. proper forcing)^[8], która dzisiaj jest najbardziej rozwiniętą i najczęściej stosowaną częścią teorii iterowanego forsingu^[9]^[10].

W latach 90. XX wieku, W. Hugh Woodin rozwija teorię wokół forsingu ${\mathbf P}_{\rm max}$ , który okazuje się być kluczowym elementem badań struktury $({\mathcal H}(\omega_2),\in,I_{NS}$ ) przy założeniu aksjomatu determinacji w ${\mathbf{L}}({\mathbb R})$ (gdzie $I N S$ jest ideałem niestacjonarnych podzbiorów $ω 1$ , a ${\mathcal H}(\omega_2)$ jest rodziną zbiorów dziedzicznie mocy $< ω 2$ )^[11].

[edytuj] Dlaczego forsing działa: modele booleowskie

Poniżej przedstawione zostało w formie szkicu omówienie jednego ze sposobów wprowadzania i interpretacji forsingu. Wywody te nie są ani kompletne, ani całkowicie poprawne - ze względu na jasność ekspozycji trzeba było zrezygnować z części szczegółów technicznych. Czytelnika zainteresowanego głębszym zrozumieniem tej tematyki odsyłamy do książki Wojciecha Guzickiego i Pawła Zbierskiego^[12] lub monografii Thomasa Jecha^[13].

W matematyce jesteśmy przyzwyczajeni do używania dwóch wartości logicznych dla zdań: 0 (fałsz) oraz 1 (prawda). Są też rozważane logiki wielowartościowe, ale jeśli chcemy dokonywać wartościowania zdań rachunku kwantyfikatorów, to tamte metody nie są zbyt owocne. Jeśli jesteśmy zainteresowani zdaniami języka (pierwszego rzędu) teorii mnogości, to możemy pokusić się o wartościowanie zdań w pewnej algebrze Boole'a. Użycie algebry Boole'a pozwala na naturalne traktowanie spójników logicznych, ale co zrobić z kwantyfikatorami? O kwantyfikatorze ogólnym $\forall x$ możemy myśleć jak o dużej koniunkcji $\bigwedge\limits_{x}$ po wszystkich możliwych x. Taka duża koniunkcja powinna się tłumaczyć na przekrój w algebrze Boole'a i to sugeruje, że powinniśmy ograniczyć się do takich algebr, w których istnieją wszystkie kresy górne i dolne. Jest jeszcze jeden szczegół techniczny, który wymaga omówienia: obliczając booleowską wartość logiczną zdania $(\forall x)(\varphi(x))$ , będziemy redukować problem do wyznaczenia kresu dolnego $\prod\{\mbox{wart.logiczna}(\varphi(x)):x\}$ , ale jakie x powinny być brane pod uwagę? Okazuje się, że otrzymamy bardzo ładną i użyteczną teorię, jeśli ograniczymy się do tzw termów booleowskich.

Spróbujmy trochę sformalizować idee przedstawione powyżej.

Niech ${\mathbb B}=(B,+,\cdot,\sim,{\mathbf 0},{\mathbf 1})$ będzie zupełną algebrą Boole'a. Przez indukcję po wszystkich liczbach porządkowych $α$ definujemy zbiory ${\mathbf V}^{\mathbb B}_\alpha$ złożone z termów booleowskich rangi $α$ :

${\mathbf V}^{\mathbb B}_0=\emptyset$ ,
${\mathbf V}^{\mathbb B}_\alpha=\bigcup\limits_{\beta<\alpha}{\mathbf V}^{\mathbb B}_\beta$ gdy $α$ jest liczbą graniczną,
${\mathbf V}^{\mathbb B}_{\alpha+1}$ jest zbiorem wszystkich funkcji t których dziedzina $dom(t)$ jest podzbiorem ${\mathbf V}^{\mathbb B}_\alpha$ a wartości należą do algebry ${\mathbb B}$ .

Kładziemy też ${\mathbf V}^{\mathbb B}=\bigcup\limits_{\alpha\in{\mathbf{ON}}}{\mathbf V}^{\mathbb B}_\alpha$ .

Następnie, dla formuł $\varphi(t_0,\ldots,t_n)$ języka teorii mnogości z parametrami $t_0,\ldots,t_n\in {\mathbf V}^{\mathbb B}$ definiujemy wartość booleowską $\|\varphi(t_0,\ldots,t_n)\|_{{\mathbb B}}$ . Zaczynamy od wartości booleowskich formuł atomowych (tutaj mamy doczynienia z indukcją po randze termów booleowskich t, s):

$\|t\in s\|_{{\mathbb B}}=\sum\limits_{u\in {\rm dom}(s)} (\|t=u\|_{{\mathbb B}}\cdot s(u))$ ,
$\|t=s\|_{{\mathbb B}}=\prod\limits_{u\in {\rm dom}(t)} (\sim t(u)+\|u\in s\|_{{\mathbb B}})\cdot \prod\limits_{u\in {\rm dom}(s)} (\sim s(u)+\|u\in t\|_{{\mathbb B}})$ .

Teraz, przez indukcję po złożoności formuł, definiujemy wartość booleowską dla bardziej skomplikowanych formuł:

$\|\neg\varphi(t_0,\ldots,t_n)\|_{{\mathbb B}}={\sim}\|\varphi(t_0,\ldots,t_n)\|_{{\mathbb B}}$ ,
$\|\varphi_0(t_0,\ldots,t_n)\wedge\varphi_1(t_0,\ldots,t_n)\|_{{\mathbb B}}=\|\varphi_0(t_0,\ldots,t_n)\|\cdot \|\varphi_1(t_0,\ldots,t_n)\|_{{\mathbb B}}$ ,
$\|\varphi_0(t_0,\ldots,t_n)\vee\varphi_1(t_0,\ldots,t_n)\|_{{\mathbb B}}=\|\varphi_0(t_0,\ldots,t_n)\|_{{\mathbb B}}+\|\varphi_1(t_0,\ldots,t_n)\|_{{\mathbb B}}$ ,
$\|\varphi_0(t_0,\ldots,t_n)\ \Rightarrow\ \varphi_1(t_0,\ldots,t_n)\|_{{\mathbb B}}={\sim}\|\varphi_0(t_0,\ldots,t_n)\|_{{\mathbb B}}+\|\varphi_1(t_0,\ldots,t_n)\|_{{\mathbb B}}$ ,
$\|(\exists x)(\varphi_0(t_0,\ldots,t_n,x))\|_{{\mathbb B}}=\sum\limits_{s\in {\mathbf V}^{\mathbb B}}\|\varphi_0(t_0,\ldots,t_n,s)\|_{{\mathbb B}}$ ,
$\|(\forall x)(\varphi_0(t_0,\ldots,t_n,x))\|_{{\mathbb B}}=\prod\limits_{s\in {\mathbf V}^{\mathbb B}}\|\varphi_0(t_0,\ldots,t_n,s)\|_{{\mathbb B}}$ .

Okazuje się, że jeśli $\varphi$ jest jednym z aksjomatów ZFC, to $\|\varphi\|_{{\mathbb B}}={\mathbf 1}$ . Co więcej, jeśli istnieje dowód zdania $\varphi$ w oparciu o aksjomaty ZFC, to $\|\varphi\|_{{\mathbb B}}={\mathbf 1}$ . Podobnie, jeśli istnieje dowód negacji $\neg\varphi$ w oparciu o aksjomaty ZFC, to $\|\varphi\|_{{\mathbb B}}={\mathbf 0}$ . (Te stwierdzenia są twierdzeniami teorii ZFC.)

I tak dochodzimy do sedna forsingu: rozważając zdanie $\varphi$ języka teorii mnogości, możemy dla dowolnej algebry Boole'a ${\mathbb B}$ wyznaczyć wartość booleowską $\|\varphi\|_{{\mathbb B}}$ . Jeśli dla pewnej algebry ${\mathbb B}$ odkryjemy, że $\|\varphi\|_{{\mathbb B}}$ jest 1 (jedynką algebry), to nasze zdanie jest niesprzeczne z ZFC (tzn nie można udowodnić jego zaprzeczenia), a jeśli zauważymy że $\|\varphi\|_{{\mathbb B}}={\mathbf 0}$ , to nasze zdanie nie może być twierdzeniem ZFC. Oczywiście, gdy $\|\varphi\|_{{\mathbb B}}\notin\{{\mathbf 0},{\mathbf 1}\}$ , to nasze zdanie nie może być ani udowodnione, ani odrzucone.

[edytuj] Jak forsing jest używany: roszerzenia modeli ZFC

[edytuj] Rozszerzenia generyczne

W praktyce matematycznej obliczanie wartości formuł okazuje się być dość skomplikowanym. Łatwiej jest nam myśleć o formułach jako zdaniach opisujących pewną rzeczywistość (choćby idealną) niż traktować je jako czysto formalne napisy. Z tego powodu w zastosowaniach forsingu najczęściej jest używane podejście semantyczne. To podejście, używające generycznych rozszerzeń modeli teorii mnogości może być całkowicie sformalizowane i poprawne, często budzi jednak pewne opory u nowych adeptów forsingu. (Być może jest to spowodowane przez typowe rozpoczęcie rozważań od niech $N$ będzie przeliczalnym tranzytywnym modelem dostatecznie dużego fragmentu ZFC .) Należy jednak podkreślić, że wszystkie argumenty używające języka rozszerzeń generycznych mogą być przetłumaczone na obliczenia pewnych wartości booleowskich. (Sama możliwość takiego przetłumaczenia jest dla specjalistów wystarczająca i nikt tego w praktyce nie robi.)

Tak jak w sekcji wcześniejszej, nasze rozważania tutaj mają charakter szkicu tylko i nie są całkowicie poprawne ani kompletne. Czytelnika zainteresowanego tematem odsyłamy do cytowanej wcześniej literatury.

Wyobraźmy sobie że nasze (tranzytywne) uniwersum teorii mnogości V jest zanurzone w większym (tranzytywnym) uniwersum ${\mathbf V}^*$ (tzn ${\mathbf V}\subseteq {\mathbf V}^*$ ). Niech ${\mathbb B}=(B,+,\cdot,\sim,{\mathbf 0},{\mathbf 1})\in {\mathbf V}$ będzie zupełną (z punktu widzenia universum V) algebrą Boole'a. Powiemy, że zbiór $G\subseteq B\setminus\{0\}$ należacy do ${\mathbf V}^*$ jest filtrem generycznym w algebrze ${\mathbb B}$ nad modelem ${\mathbf V}$ jeśli

(i) G jest filtrem w ${\mathbb B}$ , tzn ${\mathbf 1}\in G, \ {\mathbf 0}\notin G$ i

$\big(\forall a,b\in B\big)\big((a\leq b\ \wedge a\in G)\ \Rightarrow b\in G\big)$ oraz $(\forall a,b\in G)(a\cdot b\in G)$ ,

(ii) G jest V-zupełny, tzn dla każdego zbioru $A\subseteq B$ takiego, że $A\in {\mathbf V}$ mamy

jeśli $A\subseteq G$ to $\prod A\in G$ .

Przypuśćmy $G\in {\mathbf V}^*$ jest filtrem generycznym w algebrze ${\mathbb B}$ nad modelem ${\mathbf V}$ . Dla tego filtru definiujemy interpretację termów booleowskich oraz model ${\mathbf V}[G]$ :

przez indukcje po randze termu $t\in {\mathbf V}^{\mathbb B}$ określamy

$(\emptyset)^G=\emptyset$ i $t^G=\{s^G:s\in {\rm dom}(t)\ \wedge t(s)\in G\}$ ;

kładziemy ${\mathbf V}[G]=\{t^G:t\in {\mathbf V}^{\mathbb B}\}$ .

Okazuje się, że

${\mathbf V}\subseteq {\mathbf V}[G]$ ,
dla każdej formuły $\varphi(x_0,\ldots,x_n)$ języka teorii mnogości oraz termów $t_0,\ldots,t_n\in {\mathbf V}^{\mathbb B}$ mamy

${\mathbf V}[G]\models \varphi(t_0^G,\ldots,t_n^G)$ wtedy i tylko wtedy gdy $\|\varphi(t_0,\ldots,t_n)\|_{{\mathbb B}}\in G$ ,

w szczególności, ${\mathbf V}[G]$ jest modelem ZFC.

Model ${\mathbf V}[G]$ nazywany jest rozszerzeniem generycznym uniwersum V. Badania modeli tej postaci zastępują obliczanie wartości booleowskich formuł.

[edytuj] Pojęcia forsingu

Pozostał nam jeszcze do omówienia jeden aspekt forsingu, związany z odpowiedzią na pytanie skąd się biorą rozważane zupełne algebry Boole'a? Algebry Boole'a używane w dowodach niesprzecznościowych są zwykle powiązane bezpośrednio ze zdaniem którego niesprzeczność chcemy udowodnić. Często to zdanie postuluje istnienie pewnego obiektu dla którego rozważa się przybliżenia przez obiekty mniejsze. Zwykle, zbiór tych przybliżeń ma naturalną strukturę porządku częściowego lub w najogólniejszym przypadku przynajmniej praporządku. Tak otrzymujemy dużą część pojęć forsingu używanych w teorii mnogości. Każde pojęcie forsingu związane jest z pewną zupełną algebrą Boole'a i to jest właśnie źródło naszych algebr.

Należy zauważyć, że jeśli pojęcie forsingu ${\mathbb P}$ jest separatywnym porządkiem częściowym, to może być ono traktowane bezpośrednio jako gęsty podzbiór algebry zupełnej ${\mathbb B}={\rm RO}({\mathbb P})$ . (W ogólnym przypadku należy najpierw dokonać pewnych utożsamień.) Wówczas elementy naszego pojęcia forsingu są również elementami algebry Boole'a i możemy porównywać je do wartości booleowskich formuł a także pytać czy należą one do filtru generycznego. Z rozważaniami tego typu związana jest relacja forsingu (zwana też relacją wymuszania). Przypuśćmy, że $\varphi(x_0,\ldots,x_n)$ jest formułą języka teorii mnogości, $t_0,\ldots,t_n \in {\mathbf V}^{\mathbb B}$ są termami booleowskimi oraz $p\in {\mathbb P}$ . Definiujemy wówczas

$p\Vdash_{\mathbb P} \varphi(t_0,\ldots,t_n)$ (czyt. p forsuje/wymusza $\varphi(t_0,\ldots,t_n)$ ) wtedy i tylko wtedy gdy $p\leq \| \varphi(t_0,\ldots,t_n)\|_{\mathbb B}$

Warto zauważyć, że $p\Vdash_{\mathbb P} \varphi(t_0,\ldots,t_n)$ wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego filtru generycznego $G\subseteq{\mathbb B}$ nad V takiego że $p\in G$ mamy ${\mathbf V}[G]\models \varphi(t_0^G,\ldots,t_n^G)$ .

W rozumowaniach forsingowych często jako narzędzia używa się relacji $\Vdash$ . W niektórych prezentacjach teorii forsingu ta właśnie relacja (a nie model booleowski) jest punktem wyjścia rozwoju teorii.

[edytuj] Przykłady zastosowań forsingu

Używając forsingu, można wykazać niezależność (od aksjomatów ZFC) następujących klasycznych zdań w teorii mnogości:

Wyniki które można zbiorowo opisać stwierdzeniem, że każde rozmieszczenie wartości $\aleph_1$ i $\aleph_2$ w diagramie Cichonia które jest zgodne z nierównościami diagramu i dwoma dodatkowymi równościami jest niesprzeczne z ZFC były uzyskane przy użyciu forsingu. Pełny opis tych rezultatów jest przedstawiony w monografii Tomka Bartoszyńskiego i Haima Judaha ^[14].
Innymi przykładami zastosowania forsingu mogą być następujące dwa wyniki, których sformułowanie powinno być zrozumiałe dla każdego matematyka:

Jest niesprzeczne z ZFC, że dla każdej funkcji $f:{\mathbb R}\longrightarrow{\mathbb R}$ można znaleźć zbiór $A\subseteq {\mathbb R}$ który nie jest pierwszej kategorii i taki, że obcięcie $f\upharpoonright A$ jest ciągłe. ^[15].
Jest niesprzeczne z ZFC, że dla każdej funkcji $f:{\mathbb R}\longrightarrow{\mathbb R}$ można znaleźć zbiór $A\subseteq {\mathbb R}$ który nie jest miary zero i taki, że obcięcie $f\upharpoonright A$ jest ciągłe. ^[16].

[edytuj] Aksjomaty forsingowe

Metoda forsingu i jej stosowanie może być dość skomplikowane i wielu matematyków woli swoje rozważania niezależnościowe opierać na tzw aksjomatach forsingowych. Aksjomaty forsingowe to zdania matematyczne które postulują istnienie obiektów które są zbliżone do filtrów generycznych. Pierwszym (i chyba najbardziej popularnym) aksjomatem forsingowym był aksjomat Martina.

Źródło popularności aksjomatów forsingowych tkwi w możliwości wyeliminowania dość skomplikowanych dowodów niesprzeczności pewnych stwierdzeń przy użyciu forsingu iterowanego. Mają więc one pewne znaczenie dydaktyczne jako wprowadzenie do metody forsingu^[17] oraz praktyczne jako narzędzie dla matematyków nie zaznajomionych z metodą forsingu^[18]. Oczywiście, za każdym aksjomatem forsingowym (a ściśle mówiąc jego niesprzecznością), stoją dość poważne rozumowania w teorii forsingu iterowanego.

[edytuj] Definicje

Dla pojęcia forsingu ${\mathbb P}$ i liczby kardynalnej $κ$ , niech ${\rm MA}_\kappa({\mathbb P})$ oznacza następujące zdanie:

jeśli ${\mathcal I}$ jest rodziną gęstych podzbiorów ${\mathbb P}$ oraz $|{\mathcal I}|\leq\kappa$ ,

to istnieje filtr $G\subseteq {\mathbb P}$ który ma niepusty przekrój z każdym zbiorem z ${\mathcal I}$ (tzn $(\forall D\in {\mathcal I})(D\cap G\neq\emptyset)$ ).

Dla klasy ${\mathcal P}$ pojęć forsingu i liczby kardynalnej $κ$ , ${\rm MA}_\kappa({\mathcal P})$ jest zdaniem $\big(\forall {\mathbb P}\in {\mathcal P}\big)\big({\rm MA}_\kappa({\mathbb P})\big)$ .

[edytuj] Uwagi

Należy zauważyć, że na mocy klasycznego lematu polskich matematyków Heleny Rasiowej i Romana Sikorskiego, ${\rm MA}_{\aleph_0}({\mathbb P})$ jest prawdziwe (w ZFC). Nietrudno jest też wykazać, że jeśli ${\mathbb P}$ jest porządkiem bezatomowym i separatywnym, to ${\rm MA}_{2^{|{\mathbb P}|}}({\mathbb P})$ jest zdaniem fałszywym (w ZFC).

Jeśli CCC oznacza klasę wszystkich porządków częściowych spełniających ccc, to aksjomat Martina jest zdaniem $(\forall \kappa<2^{\aleph_0})({\rm MA}_\kappa({\rm CCC}))$ . Aksjomat ${\rm MA}_{\aleph_1}({\rm CCC})$ był uogólniony przez Shelaha do PFA.

Należy zauważyć, że w literaturze matematycznej istnieją pewne rozbieżności jeśli chodzi o terminologię związaną z aksjomatami forsingowymi. Niektórzy autorzy rezerwują nazwę aksjomat Martina i symbol $MA κ$ dla $MA κ (CCC)$ , a dla pozostałych przypadków używają oznaczenia $FA κ$ . Istnieją również pewne niekonsekwencje w formułowaniu definicji i roli liczby $κ$ . Czasami $MA κ$ jest rozumiany jako $MA < κ$ , tzn postulat istnienia filtru przecinającego zadane $< κ$ zbiorów gęstych.

[edytuj] Bibliografia

↑ Cohen, Paul: The independence of the continuum hypothesis. "Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A." 50 (1963), s. 1143-1148.
↑ Cohen, Paul: The independence of the continuum hypothesis. II. "Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A." 51 (1964), s. 105-110.
↑ Cohen, Paul: Set theory and the continuum hypothesis. W. A. Benjamin, Inc., New York-Amsterdam, 1966.
↑ Cohen, Paul: The discovery of forcing. Rocky Mountain J. Math. 32 (2002), no. 4, s. 1071-1100
↑ Shoenfield, Joseph R.: Unramified forcing. "1971 Axiomatic Set Theory" (Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XIII, Part I, Univ. California, Los Angeles, Calif., 1967), Amer. Math. Soc., Providence, R.I. s. 357-381
↑ Solovay, R. M.; Tennenbaum, S.: Iterated Cohen extensions and Souslin's problem. "Ann. of Math." (2) 94 (1971), s. 201-245.
↑ Laver, Richard: On the consistency of Borel's conjecture. "Acta Math." 137 (1976), nr 3-4, s. 151-169.
↑ Shelah, Saharon: Independence results. "J. Symbolic Logic" 45 (1980), nr 3, s. 563-573.
↑ Shelah, Saharon: Proper and improper forcing. "Perspectives in Mathematical Logic". Springer-Verlag, Berlin, 1998. ISBN 3-540-51700-6.
↑ Goldstern, Martin: Tools for your forcing construction. Set theory of the reals (Ramat Gan, 1991), "Israel Math. Conf. Proc.", 6, Bar-Ilan Univ., Ramat Gan, 1993, s. 305-360.
↑ Woodin, W. Hugh: The axiom of determinacy, forcing axioms, and the nonstationary ideal. "de Gruyter Series in Logic and its Applications", 1. Walter de Gruyter & Co., Berlin, 1999. ISBN 3-11-015708-X
↑ Guzicki, Wojciech; Zbierski, Paweł: Podstawy teorii mnogości. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa, 1978.
↑ Jech, Thomas: Set theory. The third millennium edition. "Springer Monographs in Mathematics". Springer-Verlag, Berlin, 2003. ISBN 3-540-44085-2
↑ Bartoszyński, Tomek; Judah, Haim: Set theory. On the structure of the real line. A K Peters, Ltd., Wellesley, MA, 1995. ISBN 1-56881-044-X
↑ Shelah, Saharon: Possibly every real function is continuous on a non-meagre set. "Publ. Inst. Math. (Beograd)" (N.S.) 57(71) (1995), s. 47-60.
↑ Rosłanowski, Andrzej; Shelah, Saharon: Measured creatures. "Israel J. Math." 151 (2006), s. 61-110.
↑ Kunen, Kenneth: Set theory. An introduction to independence proofs. "Studies in Logic and the Foundations of Mathematics", 102. North-Holland Publishing Co., Amsterdam-New York, 1980. ISBN 0-444-85401-0
↑ Fremlin, David H.: Consequences of Martin's axiom. "Cambridge Tracts in Mathematics", 84. Cambridge University Press, Cambridge, 1984. ISBN 0-521-25091-9.

[edytuj] Zobacz też

Źródło: "http://pl.wikipedia.org../../../f/o/r/Forsing.html"

Kategoria: Teoria mnogości