Vectorveld
![voorbeeld van een vectorveld in 2D:[-y,x]](../../../upload/shared/thumb/8/88/Vectorfield_jaredwf.png/320px-Vectorfield_jaredwf.png)
Inhoud |
[bewerk] Definitie
Een vectorveld is een afbeelding die aan elk punt in een Euclidische ruimte een vector verbindt. Men spreekt wel van gebonden vectoren, met aangrijpingspunt.
- in de 3-D ruimte:
![\! \vec{F}(x,y,z)= [F_x(x,y,z),F_y(x,y,z),F_z(x,y,z)]](../../../math/5/5/9/5590bcb5049ebab127b5a066bdb5e028.png)
;
- in de n-dimensionale Euclidische ruimte
:
![\! \vec{F}(x_1,x_2,...,x_n)=[F_1(x_1,...,x_n),F_2(x_1,...,x_n),...,F_n(x_1,...,x_n)]](../../../math/f/9/6/f96a17417fef55966e27bfc7e54682da.png)
.
[bewerk] Voorbeelden
[bewerk] Windrichting
Bekijken we de verdeling van de windsnelheid in de atmosfeer, dan heerst op ieder punt een bepaalde windrichting en windsnelheid. Deze verdeling is dus een vectorveld van aan punten (x,y,z) in de atmosfeer gekoppelde snelheidsvectoren
.
Waait de wind alleen in één richting, zeg de x-richting, zoals bij benadering in een windtunnel, dan is het vectorveld van de vorm 
[bewerk] Zwaartekracht
Op ieder punt van de ruimte geldt een bepaald zwaartekrachtsveld, gegeven door de richting van de zwaartekracht (simpel gesteld naar beneden) en een grootte (de bekende veldsterkte g).
Het vectorveld wordt dan: 
. Alle krachten hebben in de natuurkunde een veld, dat in veel gevallen een vectorveld is.
[bewerk] Bewerkingen
[bewerk] Integreren
Het integreren van een vectorveld wordt gebruikt in de wetten van Maxwell, daarbij integreert men over een volume, of over het oppervlak van een volume.
[bewerk] Differentiëren
Om de verschillende afgeleiden te beschrijven, maakt men vaak gebruik van de nabla-operator.
De richtingsafgeleiden van een scalair veld 
vormen een vectorveld, de gradiënt van het veld.
- grad
Om de putten en bronnen van een vectorveld φ aan te geven berekent men de divergentie 
van het veld, uitgeschreven als 
Of een veld wervelingen kent, wordt bepaald door de rotatie of rotor 
, uitgeschreven als 
Belangrijk op te merken is, dat de uitgeschreven vorm enkel in een cartesiaans assenstelstel geldt, in een cilindrisch assenstelsel is de vorm anders. Zie daartoe Nabla in verschillende assenstelsels.
[bewerk] Veralgemening tot gekromde ruimten
Ook in willekeurige gekromde ruimten (variëteiten) kunnen we een betekenis geven aan gebonden vectoren.
De differentiaalmeetkunde associeert met elk punt p van een gladde variëteit M een vectorruimte TpM, raakruimte genaamd. De vereniging van alle raakruimten is de rakende bundel TM, en een vectorveld is een sectie van de rakende bundel, d.i. een gladde afbeelding van M naar TM die elk punt p op een vector in TpM afbeeldt.
De differentiaaloperatoren "gradiënt", "divergentie" en "rotor" kunnen veralgemeend worden tot bewerkingen in de uitwendige algebra der differentiaalvormen van een willekeurige gladde variëteit. Om echter te behouden dat de gradiënt een operatie van scalairen (reële functies) naar vectorvelden is, en de divergentie een operatie van vectorvelden naar scalairen, hebben we de aanvullende structuur van een metrische tensor (Riemann-variëteit) nodig.
De rotor, zoals hierboven gedefinieerd, is bovendien afhankelijk van het feit dat we in een driedimensionale oriënteerbare ruimte werkten (pseudovector). In het algemeen (n dimensies, geen oriëntatie) beschouwen we de operator d in de uitwendige algebra.
Nog algemener kan een vectorveld een sectie zijn van eender welke gegeven vectorbundel over de beschouwde ruimte.
