ベクトル場

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数学におけるベクトル場（べくとるば、vector field）とは、幾何学的な空間の広がりの中でベクトル的な量の分布を表すものである。単純化された設定のもとではベクトル場はユークリッド空間Rⁿ（またはその開集合）からベクトル空間Rⁿへの関数として与えられる。（局所的な）座標系のもとでベクトル場を表示するときは座標に対してベクトルを与えるような関数を考えることになるが、座標系を変更したときにこの関数は一定の規則に従って変換を受けることが要請される。

ベクトル場の概念は物理学や工学においても積極的にもちいられ、例えば動いている流体の早さと向きや、磁力や重力などの力の強さと向きなどが空間的に分布している状況を表すために用いられている。

現代数学では多様体論にもとづき、多様体上の接ベクトル束の切断として（接）ベクトル場が定義される。

[編集] 定義

Mをn次元の多様体（あるいは、同値なことだが、ユークリッド空間R^mの部分集合で局所的には自由度nの座標が入るようなもの）とするとき、M上のベクトル場Xは写像V: M → R^mで次の条件を満たすものとして定義される。

pをMの任意の点とし、pのまわりに二種類の座標系(x₁,...,x_n)、(y₁,...,y_n)が考えられるとする。座標系(x₁,...,x_n)にもとづくVの表示をV_x（これはn変数のn次元ベクトル値関数である）、座標系(y₁,...,y_n)にもとづくVの表示をV_y（これもn変数のn次元ベクトル値関数である）とするとき、 $V_y = \frac{\partial x}{\partial y}V_y$ がなりたつ。

したがって、ベクトル場Vからは座標系実ごとにn変数のベクトル置換数による表示が得られることになるが、座標系が交わるところでは上に挙げた条件によって関数たちが張り合わされ、幾何学的に内在的なものがえられている。

現代数学ではこの定義がさらに抽象化され多様体Mの上で各点に対する接ベクトルの分布を与えるものとして理解される。Mの点pにおける接ベクトル v を考えることと、pのまわりで定義された微分可能関数いたいしてpにおいてvの方向への微分を与える作用素 $\partial_v$ を考えることは同じことになる。したがってpにおける微分写像のなす空間T_pM（この概念はoのまわりの座標の取り方によらない）がpにおける接ベクトルの空間を与えていると見なせ、ベクトル場は接ベクトルの分布をあらわす写像 $X:M \rightarrow TM = \cup_{p \in M}T_pM, X(p) \in T_pM$ によって与えられていると考えることができる。

[編集] ベクトル場に対する操作

ベクトルについての加法や減法、定数倍などの操作を各点ごとに考えることでこれらの操作がベクトル場についても定義される。特に、連続関数fとベクトル場Xについて各点ごとの積fXを考えることができる。

多様体Mにリーマン計量 g が与えられているとする。fがM上の微分可能関数のとき、 $g (Y, g r a d f) = Y (f)$ で特徴づけられるようなベクトル場grad fを考えることができるが、これは（gに関する）勾配grad fとよばれる。

R³上のベクトル場X = (X₁, X₁, X₁): R³ → R³に対してその発散

$\operatorname{div}\,\mathbf{X} = \nabla\cdot\mathbf{X} =\frac{\partial X_1}{\partial x} +\frac{\partial X_2}{\partial y} +\frac{\partial X_3}{\partial z}.$

や回転

$\operatorname{rot}\,\mathbf{X}= \nabla \times X = \begin{bmatrix} {\frac{\partial X_3}{\partial y}} - {\frac{\partial X_2}{\partial z}} \\ \\ {\frac{\partial X_1}{\partial z}} - {\frac{\partial X_3}{\partial x}}\\ \\ {\frac{\partial X_2}{\partial x}} - {\frac{\partial X_1}{\partial y}} \end{bmatrix}$