Topologi

Wikipedia

Broarna i Köningsberg, ett klassiskt topologiskt problem.

Topologi från grekiskans τοπς "topos", (plats, ställe), och λογος "logos", (lära), är en gren av den moderna matematiken som generaliserar begreppen öppna mängder och kontinuerliga funktioner.

Topologi föddes i början av 1900-talet och är därför ett relativt nytt område inom matematiken. Den har visat sig mycket framgångsrik och används idag i allt från andra grenar av matematik såsom analys och algebra, till andra vetenskaper som till exempel fysik och genetik.

Topologi introduceras ofta genom att först definera "topologiska rum", sedan "kontinuerliga funktioner" mellan dessa rum. Därefter studerar man olika "topologiska egenskaper" hos dessa. Se definitioner nedan.

[redigera] Definition

Ett topologiskt rum defineras som en mängd X utrustad med en topologi Ω, vars element är delmängder av X. Delmängder av X som tillhör Ω kallas öppna, och måste uppfylla dessa tre axiom:

1. Varje union av öppna mängder är öppen.
2. Varje snitt av ändligt antal öppna mängder är öppen.
3. Den tomma mängden, Ø, och hela mängden, X, är öppna.

Formellt är ett topologiskt rum paret (X, Ω), men ofta framgår det vilken topologi Ω som menas så det skrivs kortfattat X istället för (X, Ω).

Notera skillnaden på 1. och 2.; ett oändligt snitt av öppna mängder behöver allstå inte vara öppen. Däremot gäller att en oändlig union av öppna mängder alltid är öppen.

[redigera] Exempel på topologiska rum

• En mängd X med topologin {Ø, X}. Det vill säga de enda öppna delmängderna av X är Ø och X själv.
• En mängd X med topologin; mängden av alla delmängder av X. Det vill säga alla delmängder av X är öppna.
• Alla metriska rum med topologin: En mängd M är öppen om det för varje punkt p finns en boll med radie större än noll centrerad i p så att bollen är en delmängd av M. Till exempel
  • Vektorrum med en norm. Metriken d blir d(u, v) = ||u - v||

[redigera] Relaterade definitioner

• En delmängd D av X kallas sluten om dess komplement X\D är öppen.
• En funktion från ett topologiskt rum X till ett topologiskt rum Y kallas kontinuerlig om urbilden, av varje öppen mängd i Y, är öppen i X.
• En homeomorfism från X till Y är en bijektiv kontinuerlig funktion sådan att dess invers också är kontinuerlig.
• En topologisk egenskap är en egenskap som bevaras under homeomorfismer. Exempel på sådana egenskaper är bland annat
  • Om rummet är sammanhängande
  • Om rummet är kompakt
  • Rummets Euler karakteristik
  • Rummets fundamentalgrupp upp till isomorfi
  • Rummets homologigrupp upp till isomorfi

[redigera] Se även

• Mängdlära
• Algebraisk topologi och homologiteori
• Knutteori
• Differetialtopologi
• Kategoriteori

Topologiska rum och kontinuerliga funktioner står för objekten resp. pilarna i kategorin Top. På samma sätt sätt står grupper resp. homomorfismer mellan dem för kategorin Grp. Fundamentalgrupp och Homologi kan därmed betraktas som funktorer från Top till Grp. Kategoriteori är därför ett viktigt redskap inom algebraisk topologi.