Rotatie (wiskunde)

De rotatie (Nederland) of rotor (Vlaanderen) (Engels: curl) is een functie van een 3-dimensionaal vectorveld. Vatten we het veld op als een stroming, dan geeft de rotatie in ieder punt aan, hoe snel en om welke as een meestromend deeltje zou draaien.

Inhoud

1 Voorbeelden
2 Definitie
3 Voorbeeld (vervolg)
- 3.1 Zie ook

[bewerk] Voorbeelden

Een wervelstorm roteert om het zgn. oog, en het vectorveld dat de windsnelheden beschrijft, heeft in het oog en mogelijk ook elders, een van 0 verschillende rotatie.
Het vectorveld dat de snelheid van de punten van een draaiende schijf voorstelt, heeft in ieder punt van de schijf een van 0 verschillende rotatie.
Het vectorveld van de snelheden op een autoweg waarvan de rijstroken van rechts naar links toenemende rijsnelheden vertonen, heeft op de grenzen tussen de rijstroken een van 0 verschillende rotatie.

De rotatie laat zich formeel als differentiaaloperator interpreteren en hoort samen met de andere differentiaaloperatoren gradiënt en divergentie tot de vectoranalyse, een deelgebied van de meerdimensionale analyse.

[bewerk] Definitie

In de wiskunde is de rotatie (Nederland) of rotor (Vlaanderen) van een drie-dimensionaal vectorveld V een nieuw drie-dimensionaal vectorveld dat is gedefinieerd als het uitwendig product of ook wel vectorieel product van de nabla-operator $\nabla$ met het vectorveld V:

$\mathrm{rot\ } \mathbf{V} = \nabla \times \mathbf{V} =\begin{pmatrix} \frac{\partial V_z}{\partial y} - \frac{\partial V_y}{\partial z} \\ \frac{\partial V_x}{\partial z} - \frac{\partial V_z}{\partial x} \\ \frac{\partial V_y}{\partial x} - \frac{\partial V_x}{\partial y} \\ \end{pmatrix}$ .

Men schrijft de rotatie van V ook wel als determinant:

$\mathrm{rot\ } \mathbf{V} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ {\frac{\partial}{\partial x}} & {\frac{\partial}{\partial y}} & {\frac{\partial}{\partial z}} \\ V_x & V_y & V_z \end{vmatrix}$ ,

waarin i, j, and k de eenheidsvectoren zijn langs respectievelijk de x-, y- en z-as.

[bewerk] Voorbeeld (vervolg)

Voor de eenvoud van de formules bekijken we een om de z-as draaiende cilinder in plaats van een draaiende schijf. De beweging wordt beschreven door het vectorveld:

$v_x(x,y,z)=-\omega y\,$

$v_y(x,y,z)=\omega x\,$

$v_z(x,y,z)=0\,$ .

De rotatie is:

$\mathrm{rot\ } v = \begin{pmatrix} \frac{\partial v_z}{\partial y} - \frac{\partial v_y}{\partial z} \\ \frac{\partial v_x}{\partial z} - \frac{\partial v_z}{\partial x} \\ \frac{\partial v_y}{\partial x} - \frac{\partial v_x}{\partial y} \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 - 0 \\ 0 - 0 \\ \omega - (-\omega)\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2\omega\\ \end{pmatrix}$ .