Ротор (математика)
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Ро́тор (Вихрь) — векторный оператор векторного поля, показывает насколько и в какую сторону закручено поле в каждой точке. Ротор обозначается значком rot или : , где векторный дифференциальный оператор набла, и F изучаемое векторное поле.
В декартовой системе координат , где F состоит из [Fx, Fy, Fz] вычисляется след. образом:
Для простоты восприятия можно представлять ротор как
Или как детерминант следующей матрицы:
где i, j и k - единичные векторы для осей x, y и z соответственно.
Векторное поле, ротор которого равен нулю в любой точке, называется потенциальным (безвихревым).
[править] Физическая интерпретация
Например, если в качестве векторного поля взять поле скоростей ветра на Земле, то для циклона, вращающегося по часовой стрелке, ротор будет направлен вниз, а для циклона, вращающегося против часовой стрелки - вверх. В тех местах, где ветры дуют равномерно и прямолинейно, ротор будет равен нулю.
[править] Основные свойства
Следующие свойства могут быть получены из обычных правил дифференцирования.
- Линейность
для любых векторных полей F и G и для всех действительных чисел a и b.
- Если φ — скалярное поле, а F — векторное, тогда:
или
- Дивергенция ротора равена нулю:
или
- Если , то есть градиент скалярного поля :
- Теорема Стокса: циркуляция вектора по замкнутому контуру равна потоку ротора этого вектора через этот контур: