Lie-groep

Het wiskundige begrip Lie-groep of Liegroep werd door Sophus Lie ingevoerd (hij sprak van continue transformatiegroep) om continue symmetrieën te modelleren. Een voorbeeld van een continue symmetrie is "rotatiesymmetrie": een vorm die ongewijzigd blijft bij wenteling. Een voorbeeld van een niet-continue (discrete) symmetrie is "spiegeling": een vorm die ongewijzigd blijft als links en rechts verwisseld worden.

Inhoud

1 Definitie
- 1.1 Voorbeelden
2 Lie-algebra van een Liegroep
- 2.1 Voorbeelden
3 Eénparameter-deelgroepen
4 Haarmaat

[bewerk] Definitie

Een Liegroep is een verzameling $G$ waarop een groepsbewerking gedefinieerd is, en die tegelijk ook een gladde variëteit is ( $C^\infty$ -manifold, zie ook differentiaalmeetkunde). De groepsbewerking en de $C^\infty$ -structuur moeten compatibel zijn in de zin dat de afbeelding $G\times G\to G:(x,y)\mapsto xy^{-1}$ een gladde afbeelding is tussen variëteiten.

[bewerk] Voorbeelden

$(\mathbb{R}^n,+)$ is een abelse Liegroep.

$S^1=\left\{z\in\mathbb{C}|\left|z\right|=1\right\}$ is een abelse Liegroep voor de vermenigvuldiging van complexe getallen. Hij modelleert het hierboven geciteerde begrip "rotatiesymmetrie" in het complexe vlak.

Als $G$ en $H$ Liegroepen zijn, dan bestaan standaardconstructies om van het cartesisch product $G\times H$ zowel een groep als een gladde variëteit te maken, en het is niet moeilijk in te zien dat dit opnieuw een Liegroep vormt.

De algemene lineaire groep $GL(n,\mathbb{R})$ is de groep van alle reguliere reële $n\times n$ -matrices, d.w.z. dat hun determinant verschillend is van 0. De groepsbewerking is het (niet-commutatieve) product van matrices.

De orthogonale groep $O (n)$ is de deelgroep van $GL(n,\mathbb{R})$ die bestaat uit de orthogonale matrices, dit zijn matrices die de inverse zijn van hun getransponeerde: $A.^tA=\mathbb{I}$

$O (n)$ is onsamenhangend: hij valt uiteen in twee samenhangscomponenten, de rotaties en de rotatie-inversies. De eersten hebben determinant 1, de laatsten hebben determinant -1. De rotaties vormen een samenhangende deelgroep van $O (n)$ , genaamd speciale orthogonale groep en genoteerd $S O (n)$ .

$S O (2)$ is in alle opzichten (groep en variëteit) gelijkwaardig met $S 1$ via het volgende isomorfisme van Liegroepen:

$S^1\to SO(2):z\mapsto\left( \begin{matrix} \Re z &\Im z\\ -\Im z &\Re z\\ \end{matrix} \right)$

waar $\Re$ en $\Im$ het reële resp. het imaginaire deel van een complex getal aanduiden.

De speciale lineaire groep $S L (n, K)$ over een lichaam $K$ bestaat uit de vierkante $n\times n$ -matrices over $K$ waarvan de determinant 1 is. Voor $K=\mathbb{R}$ en $K=\mathbb{C}$ heeft hij de structuur van een Lie-groep (met reële dimensie $n 2 - 1$ resp. $2 n 2 - 2$ ).

[bewerk] Lie-algebra van een Liegroep

Zij $G$ een Liegroep. Met iedere vector $\tilde X$ uit $T G e$ , de raakruimte aan $G$ in het neutraal element $e$ , komt een invariant vectorveld $X$ overeen. De waarde van $X$ boven een willekeurig punt $g\in G$ wordt bekomen door de differentiaal $L^*_g$ van de afbeelding "linkse samenstelling met $g$ " $L_g:G\to G:h\mapsto gh$ toe te passen op $\tilde X$ :

$X(g)=L_g^*(X(e))=L_g^*(\tilde X)$

De Liehaak $\left[X,Y\right]$ van twee invariante vectorvelden is opnieuw een invariant vectorveld. Hij maakt van de reële vectorruimte der invariante vectorvelden op $G$ een (niet-associatieve) algebra, meer bepaald een Lie-algebra.

Intuïtief meet de Liehaak het "infinitesimale tweede-orde effect" van een kleine verschuiving in de richting van $X$ , gevolgd door een kleine verschuiving in de richting van $Y$ , gevolgd door een kleine verschuiving in de richting van $- X$ , gevolgd door een kleine verschuiving in de richting van $- Y$ .

De Lie-algebra van een Liegroep voldoet aan de definiërende voorwaarden van een abstracte Lie-algebra.

[bewerk] Voorbeelden

De Lie-algebra van $(\mathbb{R}^n,+)$ is de vectorruimte $\mathbb{R}^n$ met als productbewerking de constante 0: een zogenaamde abelse Lie-algebra.

De Lie-algebra van $GL(n,\mathbb{R})$ is de vectorruimte der vierkante reële $n\times n$ -matrices, met als productbewerking de ringcommutator:

$\left[A,B\right]=A.B-B.A$

De Lie-algebra van $O (n)$ is dezelfde als die van $S O (n)$ , namelijk: de scheefsymmetrische vierkante reële $n\times n$ -matrices:

$A + t A = 0$

De productbewerking is opnieuw de ringcommutator. Het is niet moeilijk na te gaan dat de commutator van scheefsymmetrische matrices opnieuw scheefsymmetrisch is:

$[A, B] + t [A, B] = A . B - B . A + t (A . B - B . A) = A . B - B . A + t B . t A - t A . t B = 0$

De Lie-algebra van $SL(n,\mathbb{R})$ bestaat uit de reële $n\times n$ -matrices met spoor 0, d.w.z. $\sum_{i=1}^na_{ii}=0$ . Analoog voor $SL(n,\mathbb{C})$ .

[bewerk] Eénparameter-deelgroepen

Een éénparameter-deelgroep van een Liegroep $G$ is een glad groepshomoformisme van de Liegroep $(\mathbb{R},+)$ naar $G$

$\phi:\mathbb{R}\to G, \phi(t_1+t_2)=\phi(t_1)\phi(t_2)$

Voor elke rakende vector $\tilde X$ in de raakruimte $T G e$ bestaat er een uniek glad groepshomomorfisme $\phi:(\mathbb{R},+)\to G$ waarvan de afgeleide in 0 gelijk is aan $\tilde X$ . De exponentiële afbeelding is de afbeelding $exp$ van de Lie-algebra van $G$ naar $G$ zelf die met ieder invariant vectorveld het groepselement $φ(1)$ associeert.

De benaming "exponentiële afbeelding" wordt verantwoord door de eigenschap

$\exp\left((t_1+t_2)X\right)=\left(\exp(t_1X)\right)\left(\exp(t_2X)\right)$

De Lie-algebra van $G$ is een eindigdimensionale reële vectorruimte, en kan dus op natuurlijke wijze als gladde variëteit worden opgevat. In die zin is de exponentiële afbeelding glad, en lokaal diffeomorf in de omgeving van $0$ .

[bewerk] Haarmaat

Een lokaal compacte Liegroep beschikt altijd over een linksinvariante maat, dit is een maat $μ$ op de Borelstam $\mathcal{B}$ van $G$ (de sigma-algebra voortgebracht door de open verzamelingen van $G$ ) met de eigenschap dat

$\forall A\in\mathcal{B},\forall g\in G:\mu(gA)=\mu(A)$

(evenals de impliciete veronderstelling dat $μ$ niet constant 0 is).

Deze maat is sigma-eindig (eindig bij een compacte Liegroep) en heet Haarmaat van $G$ , genoemd naar de Hongaar Alfred Haar. Ze is uniek op een reële factor na.

Er bestaat natuurlijk ook een rechtsinvariante maat $μ R$ , eveneens uniek op een coëfficiënt na. Als $G$ niet abels is, hoeven de links- en rechtsinvariante maten geen veelvoud van elkaar te zijn. Er bestaat echter wel een meetbare functie $\Delta:G\to\mathbb{R}$ , modulus of modulaire functie genoemd, met de eigenschap dat

$\forall A\in\mathcal{B}:\mu_R(A)=\int_A\Delta(g)d\mu(g)$

Niet alleen abelse Liegroepen, maar ook compacte Liegroepen zijn unimodulair in de zin dat $Δ$ een constante is, d.w.z. dat rechtsinvariante maten eveneens linksinvariant zijn.

De Haarmaat van welbepaalde Liegroepen ligt aan de basis van de meetkundige maattheorie ofte probabilistische meetkunde, om zin te geven aan begrippen zoals "de gemiddelde dikte van een convexe figuur" of "de kans dat een willekeurige rotatie van een kegel om zijn top, een gegeven vlak snijdt".

Categorieën: Analyse | Meetkunde | Groepentheorie | Lineaire algebra

Lie-groep

Inhoud

[bewerk] Definitie

[bewerk] Voorbeelden

[bewerk] Lie-algebra van een Liegroep

[bewerk] Voorbeelden

[bewerk] Eénparameter-deelgroepen

[bewerk] Haarmaat

Views

Navigatie

Informatie

Zoeken

in andere talen