Sigma-algebra

In de wiskunde is een sigma-algebra ( $σ$ -algebra) een collectie deelverzamelingen van een gegeven verzameling die aan de geschikte eigenschappen voldoen om de "gebeurtenissen" in de kansrekening of de "meetbare verzamelingen" in de maattheorie te vormen. Een synoniem, tenminste in de context van kansrekening of maattheorie, is het woord stam.

[bewerk] Definitie

Een $σ$ -algebra is een algebra van verzamelingen die gesloten is onder aftelbare vereniging. Uitdrukkelijk:

Zij $Ω$ een verzameling, universum genaamd, en zij $2 Ω$ de machtsverzameling van $Ω$ . Een familie $\mathcal{A}\subset2^{\Omega}$ van deelverzamelingen van $Ω$ is een $σ$ -algebra van verzamelingen over $Ω$ als hij voldoet aan de volgende eigenschappen:

$\Omega\in\mathcal{A}$
$\forall X\in\mathcal{A}:X^C=\Omega\setminus X\in\mathcal{A}$
$\forall X_1,X_2,\ldots\in\mathcal{A}:X_1\cup X_2\cup\ldots\in\mathcal{A}$

De enige verstrakking ten opzichte van de definitie van een algebra van verzamelingen is dat $\mathcal{A}$ niet alleen voor eindige, maar ook voor aftelbaar oneindige verenigingen gesloten moet zijn.

De elementen van $\mathcal{A}$ heten meetbare verzamelingen (in de kansrekening: gebeurtenissen) en het paar $(\Omega,\mathcal{A})$ een meetbare ruimte

Bij twee gegeven meetbare ruimten $(\Omega_a,\mathcal{A})$ en $(\Omega_b,\mathcal{B})$ onderscheidt men meetbare afbeeldingen, dit zijn afbeeldingen $f:\Omega_a\to \Omega_b$ die de structuur van de sigma-algebra's respecteren in de zin dat

$\forall B\in\mathcal{B}:f^{-1}(B)\in\mathcal{A}$

[bewerk] Verband met kansrekening en maattheorie

Algebra's van verzamelingen kunnen in principe reeds gebruikt worden als basis voor de kansrekening. De kans van een gebeurtenis is dan een getal tussen 0 en 1 dat met een element van $\mathcal{A}$ geassocieerd wordt. De algemene maattheorie kan gelijkaardig starten, door toe te laten dat de maat van een verzameling groter is dan 1 of zelfs oneindig.

Een dergelijke "eindige" theorie levert echter technische moeilijkheden op als men limieten van oneindige rijen stochastische veranderlijken respectievelijk integreerbare functies wil controleren. Het "aftelbaar oneindige" meetbaarheidsbegrip dat door sigma-algebra's wordt ondersteund, verhelpt dit euvel.