Kansverdeling

In de kansrekening speelt het begrip kansverdeling of distributie een centrale rol. Bij een experiment waarin het toeval een rol speelt, geeft de kansverdeling aan hoe "de kansen verdeeld zijn". In de theorie wordt hier een zeer specifieke betekenis aan gegeven, maar meer algemeen duidt men met kansverdeling wel het geheel van mogelijke uitkomsten en bijbehorende kansen aan.

Zo wordt bij een worp met een zuivere dobbelsteen de kansverdeling van het geworpen ogenaantal wel beschreven als gelijk aan 1/6 voor elke uitkomst. Strikt genomen is dit echter de kansfunctie, waarmee overigens de kansverdeling wel vastgelegd wordt.

Het formele begrip kansverdeling is voornamelijk van theoretisch belang en zelfs daar zal vaker met de verdelingsfunctie, die geheel bepalend is voor de kansverdeling, gewerkt worden. Bij continue veranderlijken (absoluut continue verdelingsfunctie) wordt zelfs de verdelingsfunctie op zijn beurt weer geheel bepaald door een kansfunctie of een kansdichtheid.

[bewerk] Formele definitie van een (kans)verdeling

De kansverdeling P_X van een stochastische variabele X is gedefinieerd voor (meetbare) deelverzamelingen B van door:

.

De kansverdeling van de stochastische variabele X kan geheel worden vastgelegd door de (cumulatieve kans)verdelingsfunctie F_X van X.

[bewerk] Belangrijke kansverdelingen

Hieronder staan enkele bekende kansverdelingen genoemd. Afhankelijk van het type stochastische variabele (continu of discreet) kunnen de voorbeelden van kansverdelingen ook worden onderverdeeld in continue kansverdelingen en discrete kansverdelingen. Het betreft het algemene begrip kansverdeling, gegeven door de kansfunctie in een discrete situatie of door de kansdichtheid in het continue geval.

• Discrete kansverdelingen
  • Bij stoch. var. met eindig waardenbereik
    • gedegenereerde verdeling bij x₀, waarbij X met kans 1 de waarde x₀ zal aannemen
    • uniforme verdeling (discreet), waarbij alle elementen van een eindige verzameling een even grote kans hebben (bv. bij het gooien met een zuivere munt, of zuivere dobbelsteen)
    • Bernoulli-verdeling, die de waarde 1 heeft met kans p, en de waarde 0 met kans q=1-p
    • binomiale verdeling, die de kans op een bepaald aantal 'successen' aangeeft, bij uitvoeren van een reeks onafhankelijke 'ja/nee' experimenten
    • hypergeometrische verdeling, die het aantal 'successen' geeft in de eerste m van een reeks van n onafhankelijke 'ja/nee' experimenten, bij een gegeven totaal aantal successen
  • Bij stoch. var. met oneindig waardenbereik
    • geometrische verdeling, die het aantal 'pogingen' geeft tot het eerste succes bij een reeks onafhankelijke ja/nee experimenten; "wachten op succes";
    • negatief-binomiale verdeling, een generalisatie van de geometrische verdeling (nde succes in plaats van eerste succes); "wachten op n-de keer succes"
    • Poisson-verdeling, kansen op een bepaald aantal sporadische gebeurtenissen binnen een gegeven tijdinterval
• Continue kansverdelingen
  • Op een eindig interval
    • uniforme verdeling (continu) op [a,b]
    • Beta-verdeling op [0,1], een generalisatie van de uniforme verdeling
    • driehoeksverdeling op [a, b]
  • Op een onbegrensd interval, bijvoorbeeld [0,∞)
    • exponentiële verdeling, kansen op een bepaalde tijdsduur tussen opeenvolgende random gebeurtenissen, bij een proces 'zonder geheugen'
    • Gamma-verdeling, kans op bepaalde tijdsduur totdat er n opeenvolgende random gebeurtenissen zijn opgetreden in een proces 'zonder geheugen'
    • Erlang-verdeling, speciaal geval van de gamma-verdeling, om wachttijd in een rij te voorspellen
    • Log-normale verdeling
    • Weibull-verdeling
    • chi-kwadraatverdeling, de som van de kwadraten van n onafhankelijke Gaussische stochastische variabelen; o.a. gebruikt in de statistiek
    • F-verdeling, kansverdeling van het quotiënt van twee normaal verdeelde stoch. variabelen
  • Op
    • normale verdeling, ook de Gauss-verdeling genoemd, die onder meer in de centrale limietstelling een belangrijke rol speelt
    • Student-verdeling of t-verdeling, gebruikt voor het schatten van een onbekende verwachting van een normale verdeling
    • Cauchy-verdeling

Zie ook

kansrekening | statistiek | toeval | verwachtingswaarde | kansverdeling | kansfunctie | kansdichtheid | voorwaardelijke kans | stochasticiteit