Distribución de probabilidade

Na Galipedia, a wikipedia en galego.

En estatística matemática a distribución de probabilidade F(x) é unha función da probabilidade que representa os resultados que se van obtendo de un experimento aleatorio.

Así, para un número dado x, a probabilidade $P( X \le x )$ é:

$F(x) = P( X \le x )$

A F(x) denomínaselle Función de Distribución de Probabilidade da variable X e representa a probabilidade de que a variable tome o valor dende $-\infty$ ata x.

Tamén pódese definir como a acumulada da función de densidade de probabilidade, esta última máix coñecida comunmente como función de densidade

Para dous números reales calesquera a e b tal que $(a < b)$ , os sucesos $( X \le a )$ e $( a < X \le b )$ serán mutuamente excluintes e a súa suma é o suceso $( X \le b )$ polo que temos entón que:

$P( X \le b ) = P( X \le a ) + P( a < X \le b )$

$P( a < X \le b ) = P( X \le b ) - P( X \le a )$

e finalmente

$P(a < X \le b ) = F(b) - F(a)$

Polo tanto unha vez coñecida a Función de Distribución F(x) para tódolos valores da variable aleatoria x coñeceremos completamente a distribución de probabilidade da variable.

Como a probabilidade é sempre un número positivo entón a Función de Distribución será unha función non decrecente que cumple o seguinte:

$F(\infty) = \lim_{n \to \infty} F(x) = 1$

É decir, a probabilidade de todo o espazo mostral é 1 tal e como establece a teoría da probabilidade e por outra parte:

$F(-\infty) = \lim_{n \to \infty} F(x) = 0$

É decir, a probabilidade do suceso nulo é cero.

Para realizar cálculos é máis cómodo coñece-las distribucións de probabilidade, para ver unha representación gráfica da probabilidade é máis práctico o uso da función de densidade.

Índice

1 Distribucións de variable discreta
- 1.1 Distribucións discretas con espazo mostral finito
- 1.2 Distribucións discretas con espazo mostral infinito
2 Distribucións de variable continua

[editar] Distribucións de variable discreta

Distribución binomial.

Denomínase variable discreta a aquela que só pode tomar uns determinados valores, o conxunto de valores que toma X é finito ou numerable. Neste caso, a Distribución de Probabilidade é o sumatorio da función de densidade, polo que temos entón que:

$F(x) = P( X \le x_i ) = \sum_{k=1}^i f(x_i)$

E tal e como corresponde á definición de Distribución de Probabilidade esta expresión representa a suma de tódalas probabilidades dende $-\infty$ ata o valor $x i$

[editar] Distribucións discretas con espazo mostral finito

Distribución de Bernoulli, a cal toma valor 1 con probabilidade p e valor 0 con probabilidade q = 1 − p.
- Distribución Rademacher, a cal toma valor 1 con probabilidade 1/2 e valor −1 con probabilidade 1/2.
Distribución binomial, a cal describe o número de exitos nunha serie de experimentos SI/NON independentes.
Distribución uniforme discreta, onde tódolos elementos dun conxunto finito teñen igual probabilidade. Esta é a distribución que sigue unha moeda ou unha ruleta de casino. Estes son objectos "físicos" ou "mecánicos", suxetos a perturbacións, polo que a distribución uniforme é so unha aproximación do seu comportamento. En ordenadores dixitales, utilízanse xeradores de números pseudo-aleatorios para producir unha distribución uniforme discreta.
Distribución hiperxeométrica, que describe o número de éxitos nos primeiros m experimentos dunha serie de n experimentos SI/NON independentes, se o número total de éxistos é coñecido.
Distribución Zipf, o exemplo máis famoso é a descripción da frecuencia de palabras na lingua inglesa.
Lei Zipf-Mandelbrot, é a xeralización da Distribución Zipf.

[editar] Distribucións discretas con espazo mostral infinito

Distribución Boltzmann, unha distribución importante en física estatística que describe a probabilidade de niveles de enerxía discretos dun sistema en equilibrio térmico. Ten unha distribución continua análoga. Casos especiais son:
- Distribución Gibbs
- Distribución Maxwell-Boltzmann
- Distribución Bose-Einstein
- Distribución Fermi-Dirac
Distribución xeométrica, describe os intentos necesarios para obter o primeiro éxito nunha serie de experimentos SI/NON independentes.

Distribución Poisson

Distribución logarítmica discreta
Distribución binomial negativa, xeralización da distribución xeométrica para o suceso nésimo.
Distribución fractal parabólica
Distribución de Poisson.

Distribución Skellam

Distribución Skellam, distribución da diferencia entre duas variables aleatorias con distribución Poisson.
Distribución Yule-Simon
Distribución zeta ten uso en estatística e mecánica estatística, e tamén pode ter interés para a teoría dos números. É a distribución Zipf para un número infinito de elementos.

[editar] Distribucións de variable continua

Distribución normal.

Denomínase variable continua aquela que pode tomar calquera dos infinitos valores existentes dentro dun intervalo finito. No caso da variable continua a Distribución de Probabilidade é a integral da función de densidade, polo que temos entón que:

$F(x) = P( X \le x_i ) = \int_{-\infty}^{x_i} f(x)\, dx$

[editar] Con espazo mostral limitado a un intervalo

Distribución Beta

Distribución Beta en [0,1], na que a distribución uniforme é un caso especial, é útil na estimación de probabilidades de éxito.

Distribución uniforme continua

Distribución uniforme continua en [a,b], onde tódolos puntos nun intervalo finito teñena mesma probabilidade.
- Distribución rectangular e a distribución uniforme en [-1/2,1/2].
Función delta de Dirac, ainda que non é estrictamente unha función, é unha forma de limitación de moitas funcións de probabilidade continuas. Representa a distribución de probabilidade discreta centrada en 0.
Distribución Kumaraswamy é unha distribución Beta moi versatil, pero ten formas cerradas para a función de densidade e a función de distribución.
Distribución logarítmica continua
Distribución triangular en [a, b], un caso especial é a distribución da suma de duas variables aleatorias uniformemente distribuidas (a convolución de duas distribucións uniformes).
Distribución von Mises
Distribución semicircular de Wigner importante na teoría de matrices aleatorias.

[editar] Con espazo mostral nun intervalo semi-infinito, [0,∞)

Distribución chi-cadrada

Distribución chi
Distribución chi non centrada
Distribución chi-cadrada, que é a suma dos cadrados de n variables aleatoria independentes normalmente distribuidas. É un caso especial da distribución Gamma, é utilizase en test de bondade de axuste na estatística.
- Distribución chi-cadrada inversa
- Distribución chi-cadrada non centrada
- Distribución chi-cadrada inversa escalada

Distribución expoñencial

Distribución expoñencial, describe o tempo entre dous eventos aleatorios consecutivos nun proceso sen memoria.
Distribución F, é a distribución do radio de duas variables aleatorias con distribución chi-cadrado, úsase en análise da varianza.
- Distribución F non centrada

Distribución Gamma

Distribución Gamma, describe o tempo ata n eventos aleatorios consecutivos nun proceso sen memoria.
- Distribución Erlang, é un caso especial da distribución gamma con parámetro de forma integral, desenrolada para predecir tempos de espera en sistemas de colas.
- Distribución gamma-inversa
Distribución z de Fisher
Distribución de Lévy
Distribución lognormal, describe variables que poden ser modeladas como o produto de moitas pequenas variables positivas independentes.

Distribución Pareto

Distribución Pareto, usada en análise de datos financieiros e comporamento crítico.
Distribución Rayleigh
Distribución Rice
Distribución Gumbel tipo-2
Distribución Wald
Distribución Weibull, da cal a distribución expoñencial é un caso especial, úsase para modelar o tempo de vida de máquinas, pezas, etc.

[editar] Con espazo mostral toda a línea dos números reales

Distribución Cauchy

Distribución Laplace

Distribución Levy

Distribución Normal

Distribución Cauchy, é un exemplo de distribución que non ten valor esperado nin varianza. En física sóese chamar perfil Lorentz, e está asociada con moitos procesos, como por exemplo a distribución da enerxía de resonancia.
Distribución Fisher-Tippett, distribución Weibull logarítmica.
- Distribución Gumbel , caso especial da distribución Fisher-Tippett
Distribución secante hiperbólica
Distribución Landau
Distribución Laplace
Distribución normal, tamén chamada Gaussiana ou curva de campá. Aparece moi a miudo na natureza e en estatística debido ó teorema central do límite: toda variable que poda ser modelada como a suma de moitas vairables independentes aproxímase a unha normal.
Distribución t de Student, útil para estimar medias descoñecidas de pobobacións gaussianas.
- Distribución t non centrada
Distribución Gumbel tipo 1
Distribución Voigt, ou perfil Voigt, é a convolución dunha distribución normal e unha distribución Cauchy.