Distribución de probabilidad

De Wikipedia, la enciclopedia libre

En estadística la distribución de probabilidad $F (x)$ es una función de la probabilidad que representa los resultados que se van obteniendo en un experimento aleatorio.

Para un número dado $x$ , la probabilidad $P( X \le x )$ es:

$F(x) = P( X \le x )$

A $F (x)$ se le denomina función de distribución de probabilidad de la variable $X$ y representa la probabilidad de que la variable tome el valor desde $-\infty$ hasta $x$ .

También se puede definir como la acumulada de la función de densidad de probabilidad, esta última más comúnmente conocida como función de densidad

Para dos números reales cualesquiera $a$ y $b$ tal que $(a < b)$ , los sucesos $( X \le a )$ y $( a < X \le b )$ serán mutuamente excluyentes y su suma es el suceso $( X \le b )$ por lo que tenemos entonces que:

$P( X \le b ) = P( X \le a ) + P( a < X \le b )$

$P( a < X \le b ) = P( X \le b ) - P( X \le a )$

y finalmente

$P(a < X \le b ) = F(b) - F(a)$

Por lo tanto una vez conocida la función de distribución $F (x)$ para todos los valores de la variable aleatoria $x$ conoceremos completamente la distribución de probabilidad de la variable.

Como la probabilidad es siempre un número positivo, la función de distribución será una función no decreciente que cumple lo siguiente:

$\lim_{n \to \infty} F(x) = 1$

Es decir la probabilidad de todo el espacio muestral es 1 tal y como establece la teoría de la probabilidad y por otra parte:

$\lim_{n \to -\infty} F(x) = 0$

Es decir la probabilidad del suceso nulo es cero.

Para realizar cálculos es más cómodo conocer las distribución de probabilidad, para ver una representación gráfica de la probabilidad es más práctico el uso de la función de densidad.

Tabla de contenidos

1 Distribuciones de variable discreta
- 1.1 Distribuciones de variable discreta más importantes
2 Distribuciones de variable continua
- 2.1 Distribuciones de variable continua más importantes
3 Bibliografía
4 Enlaces externos

[editar] Distribuciones de variable discreta

Distribución binomial.

Se denomina variable discreta a aquella cuya función de probabilidad sólo toma valores positivos en un conjunto de valores de $X$ finito o numerable. A dicha función se le llama función de masa de probabilidad. En este caso la distribución de probabilidad es el sumatorio de la función de masa, por lo que tenemos entonces que:

$F(x) = P( X \le x ) = \sum_{k=-\infty}^x f(k)$

Y, tal como corresponde a la definición de distribución de probabilidad, esta expresión representa la suma de todas las probabilidades desde $-\infty$ hasta el valor $x$ .

[editar] Distribuciones de variable discreta más importantes

Las distribuciones de variable discreta más importantes son las siguientes:

[editar] Distribuciones de variable continua

Distribución normal.

Se denomina variable continua a aquella que puede tomar cualquiera de los infinitos valores existentes dentro de un intervalo. En el caso de variable continua la distribución de probabilidad es la integral de la función de densidad, por lo que tenemos entonces que:

$F(x) = P( X \le x ) = \int_{-\infty}^{x} f(t)\, dt$