התפלגות

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

יש לשכתב ערך זה
הסיבה לכך: הכתיבה טכנית ואינה נגישה לקורא שאינו בקיא מראש בתורת ההסתברות. במושג בסיסי כמו זה חשוב לכתוב ערך קריא ונגיש לכל קורא. אתם מוזמנים לסייע ולתקן את הבעיות בדף זה, אך אנא אל תורידו את ההודעה כל עוד לא תוקן הדף. אם אתם סבורים כי אין בדף בעיה, ניתן לציין זאת בדף השיחה שלו.

ערך זה דן בעיקר בהתפלגויות של משתנים מקרים ממשיים. במובן רחב יותר של המושג התפלגות, הוא מתייחס גם למרחבים מדידים מלבד הממשיים.

בסטטיסטיקה, התפלגות הסתברות (או התפלגות) קובעת לכל קטע ממשי הסתברות באופן שמקיים את אקסיומות ההסתברות. במונחים טכניים, התפלגות הסתברות היא פונקציית מידה של הסתברות על ה-σ-אלגברה של בורל של הממשיים.

התפלגות הסתברות היא מקרה פרטי של המושג הכללי יותר מידת הסתברות, שהיא פונקציית מידה שקובעת הסתברויות לקבוצות המדידות במרחב מדיד באופן שמקיים את אקסיומות ההסתברות.

כל משתנה מקרי נותן התפלגות, והתפלגות זו מכילה את רוב המידע החשוב על המשתנה. אם X הוא משתנה מקרי, ההתפלגות שלו נותנת לקטע $[a, b]$ את ההסתברות $\Pr [a \le X \le b]$ , כלומר את ההסתברות שהמשתנה $X$ יקבל ערך בקטע $[a, b]$ .

ההתפלגות של משתנה $X$ ניתנת לתיאור יחיד על ידי פונקציית הצטברות ההסתברות או פונקציית התפלגות מצטברת, $\ F_X (x)$ , המוגדרת על ידי

$F_X (x) = \Pr \left[ X \le x \right]$

לכל $x$ ממשי.

התפלגות נקראת בדידה אם פונקציית הצטברות ההסתברות שלה קבועה למקוטעין, מה שאומר שהיא שייכת למשתנה מקרי בדיד — משתנה מקרי שיכול לקבל רק מספר סופי או בן-מניה של ערכים. התפלגות נקראת רציפה אם פונקציית הצטברות ההסתברות שלה רציפה, מה שאומר שהיא שייכת למשתנה מקרי $X$ המקיים $\Pr [ X = x ] = 0$ לכל $x$ ממשי.

התפלגויות רציפות בהחלט הן כאלה שניתן לבטא באמצעות פונקציית צפיפות הסתברות: פונקציה אי-שלילית אינטגרבילית לפי לבג $f$ המוגדרת על הממשיים כך ש-

$\Pr \left[ a \le X \le b \right] = \int_a^b f(x)\,dx$

לכל $a$ ו- $b$ ממשיים. אין זה מפתיע שלהתפלגויות בדידות אין צפיפות, אך יש גם התפלגויות רציפות שאין להן צפיפות, כגון ה-devil's staircase.

התומך של התפלגות היא הקבוצה הסגורה הקטנה ביותר שלמשלים שלה הסתברות אפס (מידה אפס).

[עריכה] רשימת התפלגויות הסתברות חשובות

לכמה התפלגויות שהן בעלות חשיבות תאורטית או מעשית רבה יש שמות:

התפלגויות בדידות
- בעלות תומך סופי
  - ההתפלגות המנוונת ב- $x 0$ , שבה $X$ מקבל בוודאות את הערך $x 0$ . היא לא נראית אקראית אך היא עונה על ההגדרה של משתנה מקרי. התפלגות זו שימושית מכיוון שהיא מאפשרת להתייחס למשתנים מקריים ולמשתנים דטרמיניסטיים באותה צורה.
  - ההתפלגות האחידה הבדידה, שבה לכל האיברים בקבוצה סופית הסתברות שווה. זו אמורה להיות ההתפלגות של מטבע הוגן, קוביה הוגנת, רולטה או חפיסת קלפים שנטרפה היטב. כמו כן, ניתן להשתמש במדידות של מצבים קוונטיים כדי לייצר משתנים מקריים אחידים. אולם כל אלה הם מכשירים פיזיים או מכניים, הסובלים מפגמים והפרעות, כך שההתפלגות האחידה היא רק קירוב של התנהגותם. במחשבים ספרתיים, סדרות פסאודו-אקראיות משמשות ליצירת התפלגות בדידה אחידה אקראית מבחינה סטטיסטית.
  - התפלגות ברנולי, שבה הערך 1 מתקבל בהסתברות $p$ והערך 0 בהסתברות $q = 1 - p$ .
  - ההתפלגות הבינומית, שמתארת את מספר ההצלחות בסדרה סופית של ניסויי כן/לא בלתי תלויים.
  - ההתפלגות ההיפרגאומטרית, שמתארת את מספר ההצלחות ב- $m$ הניסויים הראשונים מתוך סדרה של $n$ ניסויי כן/לא בלתי תלויים, כאשר מספר ההצלחות הכולל אינו ידוע.
- בעלות תומך אינסופי
  - ההתפלגות הגאומטרית, שמתארת את מספר הנסיונות הדרושים לקבלת ההצלחה הראשונה בסדרה של ניסויי כן/לא בלתי תלויים.
  - התפלגות הבינום השלילי, הכללה של ההתפלגות הגאומטרית להצלחה ה- $n$ .
  - התפלגות פואסון, שמתארת את מספר המאורעות הנדירים שהתרחשו בפרק זמן מסוים.
  - התפלגות בולצמן, שיש לה חשיבות בפיזיקה סטטיסטית, המתארת את ההסתברויות של רמות אנרגיה שונות במערכת שנמצאת בשווי-משקל תרמי. בין המקרים פרטיים:
    - התפלגות גיבס
    - התפלגות מקסוול-בולצמן
    - התפלגות בוזה-איינשטיין
    - התפלגות פרמי-דיראק
  - התפלגות זטא, שיש לה שימושים בסטטיסטיקה שימושית ובמכניקה סטטיסטית, ושעשויה לעניין חוקרים בתורת המספרים.
התפלגויות רציפות
- בעלות קטע סופי כתומך
  - ההתפלגות האחידה על $[a, b]$ , שבה כל הנקודות בקטע סופי הן שוות-סיכוי.
  - התפלגות בטא על $[0,1]$ שההתפלגות האחידה היא מקרה פרטי שלה, ושיש לה שימושים בהערכת סיכויי הצלחה.
  - ההתפלגות המשולשית על $[a, b]$ .
- בעלות קרן כתומך, בדרך כלל
  - ההתפלגות המעריכית, המתארת את משך הזמן בין מאורעות אקראיים נדירים.
  - התפלגות גמא, המתארת את הזמן עד התרחשותו של המאורע הנדיר ה- $n$ י.
  - התפלגות קַיי בריבוע, שהיא סכום הריבועים של $n$ משתנים נורמליים בלתי תלויים. התפלגות זו היא מקרה פרטי של התפלגות גמא. משמשת כמבחן כמותי לטיב ההתאמה בין אוסף מדידות ובין פונקציה אנליטית שאמורה לתאר את התנהגות הגודל הנמדד.
  - ההתפלגות הלוג-נורמלית, המתארת משתנים שניתנים להצגה כמכפלה של הרבה משתנים קטנים בלתי תלוייים חיוביים.
  - התפלגות ווייבול, שההתפלגות המעריכית היא מקרה פרטי שלה, משמשת כמודל למשך חייהם של מכשירים טכניים.
  - התפלגות F, שהיא ההתפלגות של היחס בין שני משתנים נורמליים, המשמשת בניתוח שונות.
- בעלות תומך שהוא כל הישר הממשי
  - ההתפלגות הנורמלית, הקרויה גם התפלגות גאוסיאנית או עקומת פעמון. היא שכיחה מאוד בטבע ובסטטיסטיקה הודות למשפט הגבול המרכזי; כל משתנה שניתן להצגה כסכום של הרבה משתנים קטנים בלתי תלויים הוא נורמלי בקירוב.
  - התפלגות t של סטיודנט, השימושית באומדן ממוצעים לא ידועים של אוכלוסיות גאוסיאניות.
  - התפלגות קושי, דוגמה להתפלגות שאין לה תוחלת או שונות. בפיזיקה היא נקראת בדרך כלל התפלגות לורנץ, והיא התפלגות האנרגיה של מצב בלתי יציב במכניקת הקוונטים.