Phân bố xác suất

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia

Trong Toán học và Thống kê, một phân bố xác suất hay thường gọi hơn là một hàm phân phối xác suất gán cho mỗi khoảng giá trị của tập số thực một xác suất, sao cho các tiên đề xác suất được thỏa mãn. Theo thuật ngữ kỹ thuật, một phân bố xác suất là một độ đo xác suất (probability measure) mà miền xác định là đại số Borel trên tập số thực.

Một phân bố xác suất là một trường hợp đặc biệt của một khái niệm tổng quát hơn về độ đo xác suất, đó là một hàm thỏa mãn các tiên đề xác suất của Kolmogorov cho các tập đo được của một không gian đo được (measurable space).

[sửa] Định nghĩa hình thức

Mỗi biến ngẫu nhiên tạo ra một phân bố xác suất, phân bố này chứa hầu hết các thông tin quan trọng về biến ngẫu nhiên đó. Nếu X là một biến ngẫu nhiên, phân bố xác suất tương ứng gán cho đoạn [a, b] một xác suất P[a ≤ X ≤ b], nghĩa là, xác suất mà biến X sẽ lấy giá trị trong đoạn [a, b].

Phân bố xác suất của biến X có thể được mô tả một cách duy nhất bởi hàm phân bố tích lũy (cumulative distribution function) F(x) được định nghĩa như sau:

$F(x) = \Pr\left[ X \le x \right]$

với mọi x thuộc R.

Một phân bố được gọi là rời rạc nếu hàm phân bố tích lũy của nó bao gồm một dãy các bước nhảy hữu hạn, nghĩa là nó sinh ra từ một biến ngẫu nhiên rời rạc X: một biến chỉ có thể nhận giá trị trong một tập hợp hữu hạn hoặc đếm được nhất định. Một phân bố được gọi là liên tục nếu hàm phân bố tích lũy của nó là hàm liên tục, khi đó nó sinh ra từ một biến ngẫu nhiên X mà P[ X = x ] = 0 với mọi x thuộc R. Phân bố liên tục còn có thể được biểu diễn bằng hàm mật độ xác suất: một hàm f không âm khả tích Lebesgue được định nghĩa trên tập số thực như sau"

$\Pr \left[ a \le X \le b \right] = \int_a^b f(x)\,dx$

với mọi a và b.

Không có gì đáng ngạc nhiên về việc các phân bố rời rạc không có một hàm mật độ như vậy, nhưng có các phân bố liên tục, như phân bố cầu thang của quỷ (devil's staircase), cũng không có mật độ.

Giá của một phân bố là một tập đóng nhỏ nhất mà các phần tử của nó có xác suất bằng 0.
Phân bố xác suất của tổng hai biến ngẫu nhiên độc lập là tích chập (convolution) của các phân bố của chúng.
Phân bố xác suất của hiệu hai biến ngẫu nhiên là tương quan chéo (cross-correlation) của các phân bố của chúng.

[sửa] Các phân bố xác suất quan trọng

Một số phân bố xác suất có vai trò quan trọng trong lý thuyết và ứng dụng đến mức chúng đã được đặt tên:

[sửa] Các phân bố rời rạc

[sửa] Với biến ngẫu nhiên nhận hữu hạn giá trị

Phân bố Bernoulli là phân bố của biên ngẫu nhiên X lấy giá trị 1 với xác suất p và giá trị 0 với xác suất q = 1 − p.
- Phân bố Rademacher là phân bố của biên ngẫu nhiên X lấy giá trị giá trị 1 với xác suất 1/2 và giá trị −1 với xác suất 1/2.
Phân bố nhị thức (binomial distribution) là phân bố của biên ngẫu nhiên X biểu diễn số lần thành công trong một dãy thí nghiệm độc lập, trong đó mỗi lần thử xác suất thành công là số p cố định.
Phân bố suy biến (degenerate distribution) tại x₀ là phân bố của biên ngẫu nhiên X, trong đó X chắc chắn lấy giá trị x₀. Phân bố này không có vẻ ngẫu nhiên, nhưng nó thỏa mãn định nghĩa về biến ngẫu nhiên. Nó có ích do nó đã đặt các biến tất định và các biến ngẫu nhiên trong cùng một dạng thức.
Phân bố đều rời rạc (uniform distribution)là phân bố của biến ngẫu nhiên X trong đó X nhân giá trị trong một tập hữu hạn và X nhận giá trị bằng mỗi phần tử của tập đó với xác suất bằng nhau. Đây chính là phân bố xác suất của biên ngẫu nhiên X nhận được khi gieo một đồng xu cân bằng, một con súc sắc không lệch, một vòng roulette, hoặc khi tráo kỹ một bộ bài. Ngoài ra, người ta còn có thể sử dụng các đo đạc về các trạng thái lượng tử (quantum state) để sinh các biến ngẫu nhiên đều. Mọi thiết bị "vật lý" hay "cơ khí" đều có thể có lỗi thiết kế hoặc bị trục trặc, và phân phối đều là một mô tả gần đúng hành vi của chúng.
Phân bố siêu bội (hypergeometric distribution) là phân bố của biên ngẫu nhiên X biểu diễn số lần thành công trong m lần đầu tiên của một chuỗi n thực nghiệm độc lập, nếu cho trước tổng số lần thành công.
Phân bố Zipf: một phân bố quy tắc lũy thừa (power law) rời, ví dụ nổi tiếng nhất của nó là mô tả về tần số của các từ trong tiếng Anh.
Phân bố Zipf-Mandelbrot là một phân bố quy tắc lũy thừa rời rạc và là suy rộng của phân bố Zipf.

[sửa] Với biến ngẫu nhiên nhận vô hạn giá trị

Phân bố Boltzmann, một phân bố rời rạc quan trọng trong vật lý học thống kê. Nó mô tả xác suất của các mức năng lượng rời rạc của một hệ thống trong cân bằng nhiệt. Nó có một mô hình liên tục. Các trường hợp đặc biệt gồm có:
- Phân bố Gibbs
- Phân bố Maxwell-Boltzmann
- Phân bố Bose-Einstein
- Phân bố Fermi-Dirac
Phân bố hình học, là phân bố của biến ngẫu nhiên X rời rạc mô tả số thực nghiệm cần thiết để đạt đến thành công đầu tiên trong một dãy các thực nghiệm Có/Không độc lập.

Phân bố Poisson

Phân bố lôga
Phân bố nhị thức âm, một suy rộng của phân bố hình học cho thành công thứ n.
parabolic fractal distribution
Phân bố Poisson, là phân bố của biên ngẫu nhiên X biểu diên một số rất lớn các biến cố xảy ra trong một khoảng thời gian nhất định.

Phân bố Skellam

Phân bố Skellam, phân bố của hiệu của hai biến ngẫu nhiên độc lập tuân theo phân bố Poisson.
Phân bố Yule-Simon
Phân bố zeta dùng trong thống kê ứng dụng và cơ học thống kê, và có lẽ được các nhà lý thuyết số quan tâm. Nó là phân bố Zipf cho tập vô hạn các phần tử.

[sửa] Các phân bố liên tục

[sửa] Phân bố của các biến ngẫu nhiên lấy giá trị trên một khoảng bị chặn

Phân bố Beta

Phân bố Bêta trên đoạn [0,1], phân bố đều là trường hợp đặc biệt, hữu dụng cho việc ước lượng các xác suất thành công.

Phân bố đều liên tục

Phân bố đều liên tục trên đoạn [a,b]là phân bố của biên ngẫu nhiên X , trong đó X nhận giá trị trong các khoảng con hữu hạn độ dài bằng nhau với xác suất bằng nhau.
- Phân bố chữ nhật là một phân bố đều trên đoạn [-1/2,1/2].
Hàm delta Dirac tuy không hoàn toàn là một hàm, là một dạng giới hạn của nhiều hàm xác suất liên tục. Nó biễu diễn một phân bố xác suất rời rạc tập trung tại 0 — một phân bố suy biến — (degenerate distribution) nhưng hệ thống biểu diễn đối xử với nó như thể nó là một phân bố liên tục.
Phân bố Kumaraswamy cũng hữu dụng như phân bố Beta nhưng có dạng đóng đơn giản cho cả hàm phân bố tích lũy và hàm phân bố xác suất.
Phân bố lôga (liên tục)
Phân bố tam giác trên đoạn [a, b], trường hợp đặc biệt là phân bố của tổng hai biến ngẫu nhiên có phân bố đều (tính chập của hai phân bố đều).
Phân bố von Mises
Phân bố nửa hình tròn Wigner (Wigner semicircle distribution) quan trọng trong lý thuyết ma trận ngẫu nhiên (random matrices).

[sửa] Phân bố của các biến ngẫu nhiên lấy giá trị trên khoảng nửa hữu hạn, thường là [0,∞)

Phân bố chi-square

Phân bố chi
Phân bố chi không trung tâm (noncentral chi distribution)
Phân bố chi-bình phương, là tổng của các bình phương của n biến ngẫu nhiên Gauss độc lập. Đây là trường hợp đặc biệt của phân bố the Gamma, nó được dùng cho các kiểm tra goodness-of-fit (mức độ khớp) trong Thống kê.
- Phân bố chi-bình phương nghịch đảo (inverse-chi-square distribution)
- Phân bố chi-bình phương nghịch đảo không trung tâm (noncentral chi-square distribution)
- Phân bố chi-bình phương nghịch đảo tỉ lệ (scale-inverse-chi-square distribution)

Phân phối mũ

Phân phối mũ, mô tả thời gian giữa các biến cố ngẫu nhiên hiếm gặp liên tiếp trong một quy trình không có bộ nhớ.
Phân bố F, là phân bố của tỉ lệ giữa hai biến ngẫu nhiên có phân bố chi-bình phương (đã chuẩn hóa), dùng trong phân tích phương sai (analysis of variance).
- Phân bố F không trung tâm (noncentral F-distribution)

Phân bố Gamma

Phân bố Gamma, mô tả thời gian cho đến khi n biến cố ngẫu nhiên hiếm gặp liên tiếp xảy ra trong một quá trình không có bộ nhớ.
- Phân bố Erlang, là trường hợp đặc biệt của phân bố Gamma với tham số hình dạng là số nguyên, được phát triển để dự đoán các thời gian đợi trong các hệ thống hàng đợi (queuing systems).
- Phân bố gamma đảo (inverse-gamma distribution)
Phân bố z của Fisher (Fisher's z-distribution)
Phân bố nửa chuẩn (half-normal distribution)
Phân bố Lévy
log-logistic distribution
log-normal distribution, mô tả các biến có thể được mô hình dưới dạng tích của nhiều biến ngẫu nhiên độc lập nhỏ.

Phân bố Pareto

Phân bố Pareto, hoặc phân bố "quy tắc lũy thừa", được dùng trong phân tích dữ liệu thương mại và hành vi tới hạn (critical behavior).
Phân bố Rayleigh
Rayleigh mixture distribution
Phân bố Rice
type-2 Gumbel distribution
Phân bố Wald
Phân bố Weibull, trong đó phân phối mũ là trường hợp đặc biệt, dùng để mô hình tuổi thọ của các thiết bị kỹ thuật.

[sửa] Phân phối của các biến ngẫu nhiên lấy giá trị trên toàn tập số thực

Phân bố Cauchy

Phân bố Laplace

Phân bố Levy

Phân bố chuẩn

Phân bố nguyên tố Beta
Phân bố Cauchy, một ví dụ về một phân bố không có kỳ vọng hay phương sai. Trong vật lý, phân bố này thường được gọi là một Lorentzian profile, và có liên quan đến nhiều quá trình, trong đó có phân bố năng lượng cộng hưởng, impact and natural spectral line broadening and quadratic stark line broadening.
Phân bố Fisher-Tippett, extreme value, or log-Weibull distribution
- Phân bố Gumbel, trường hợp đặc biệt của phân bố Fisher-Tippett
The generalized extreme value distribution
The hyperbolic secant distribution
Phân bố Landau
Phân bố Laplace
The Lévy skew alpha-stable distribution is often used to characterize financial data and critical behavior.
The map-Airy distribution
Phân bố chuẩn (normal distribution) còn gọi là phân bố theo đường cong Gauss, là phân bố của biên ngẫu nhiên X có hàm mật đọ là đường cong Gauss. Nó rất phổ biến trong thiên nhiên và thống kê do định lý giới hạn trung tâm (central limit theorem): mọi biến mà có thể được mô hình bằng tổng của nhiều biến độc lập đều là xấp xỉ chuẩn.
Phân phối Student, là phân bố của biên ngẫu nhiên biểu diễn giá trị trung bình chưa biết của phân bố Gauss.
- t-phân phối không tâm
Phân phối Gumbel dạng 1

[sửa] Các phân bố điều kiện

Với tập hợp bất kỳ gồm các biến ngẫu nhiên độc lập, hàm mật độ xác suất của phân bố có điều kiện (joint distribution) là tích của từng hàm riêng.

[sửa] Phân phối đông thời của các biến ngẫu nhiên trên cùng một không gian mẫu (vectơ ngẫu nhiên)

Phân phối Dirichlet,là tổng quát hóa của phân bố beta.
The Ewens's sampling formula is a probability distribution on the set of all partitions of an integer n, arising in population genetics.
phân phối bội, là tổng quát hóa của phân phối nhị thức.
phân phối chuẩn bội, là tổng quát hóa của phân phối chuẩn.

[sửa] Các phân bố của các ma trận ngẫu nhiên

Đó là phân bố của các biến ngẫu nhiên nhận giá trị là các ma trận

Phân phối Wishart
Phân phối ma trận chuẩn
t-phân phối ma trận
Hotelling's T-square distribution

[sửa] Các phân bố khác

Phân bố Cantor

[sửa] Xem thêm

copula (thống kê)
hàm phân bố tích lũy
Interactive Discrete and Continuous Probability Distributions
hàm khả năng (likelihood function)
Danh sách các chủ đề Thống kê
hàm mật độ xác suất
biến ngẫu nhiên
biểu đồ tần số (histogram)

Lấy từ “http://vi.wikipedia.org../../../p/h/%C3%A2/Ph%C3%A2n_b%E1%BB%91_x%C3%A1c_su%E1%BA%A5t.html”

Thể loại: Xác suất và thống kê | Phân bố xác suất

We provide Linux to the World