Inverse matrix

De inverse matrix is in de lineaire algebra binnen een verzameling vierkante matrices het inverse element (van een gegeven matrix) met betrekking tot de bewerking matrixvermenigvuldiging. Niet iedere matrix heeft een inverse. Is de matrix A inverteerbaar, dan is de inverse matrix eenduidig bepaald en wordt deze genoteerd als $A - 1$ .

[bewerk] Definitie

Onder de inverse matrix van een inverteerbare n×n-matrix A verstaan we de n×n-matrix genoteerd als A^-1, waarvoor geldt:

$AA^{-1}=A^{-1}A=I\!$ .

daarin is I de n×n-eenheidsmatrix.

[bewerk] Definities en eigenschappen

[bewerk] Inverteerbaarheid

Een n×n matrix $A$ wordt inverteerbaar genoemd als er een n×n matrix $B$ bestaat zodat $A B = B A = I$ . Hierbij is $I$ de n×n eenheidsmatrix. $B$ is dan de inverse van $A$ en omgekeerd.

[bewerk] Uniciteit

Stel dat $B$ de inverse is van $A$ en $C$ een andere inverse van $A$ . Dan zijn $B$ en $C$ gelijk. Immers: $B = B I = B (A C) = (B A) C = I C = C$ De unieke inverse van $A$ noteren we met $A - 1$

[bewerk] Regulier/Singulier

Als $A$ geen inverse heeft, dan wordt $A$ een singuliere matrix genoemd. Een matrix die inverteerbaar is wordt regulier genoemd.

[bewerk] Vierkante matrices

Duidelijk is dus dat alleen vierkante matrices een inverse kunnen hebben. Andere matrices kunnen voor zowel rechts- als voor linksvermenigvuldiging een apart inverse element hebben, maar dit noemen we niet de inverse matrix, omdat commutativiteit niet geldt.

[bewerk] Voorbeeld

Zij $A=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}$

Als $ad-bc\neq 0$ dan is $A$ inverteerbaar en

$A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix}$

$a d - b c$ is overigens de determinant van een 2×2 matrix.

[bewerk] Stellingen

[bewerk] Het gedrag van de inverse

Als $A$ inverteerbaar is, dan is $A - 1$ inverteerbaar en $(A - 1) - 1 = A$
Als $A$ en $B$ n×n matrices zijn die inverteerbaar zijn, dan is ook $A B$ inverteerbaar en dan is $(A B) - 1 = B - 1 A - 1$
Als A inverteerbaar is, dan is de getransponeerde matrix van A, $A T$ ook inverteerbaar: $(A T) - 1 = (A - 1) T$

[bewerk] Hoe de inverse te vinden

Met het volgende algoritme kan men de inverse van A vinden: Als A inverteerbaar is, dan is de uitgebreide matrix [ $A$ $I$ ] door middel van Gauss-eliminatie te herleiden tot [ $I$ $A - 1$ ]

De inverse matrix kan ook als volgt gevonden worden: $A^{ - 1} = \frac{1} {{\det \left( A \right)}}\operatorname{adj} \left( A \right)$
Hierin is det(A) de determinant van A en adj(A) de geadjungeerde of adjunct van A.

[bewerk] Wanneer is een matrix inverteerbaar

Voor een n×n matrix $A$ zijn de volgende uitspraken equivalent

$A$ is inverteerbaar
de determinant van $A$ is verschillend van 0.
de vergelijking $A\textbf{x}=\textbf{0}$ heeft als enige oplossing $\textbf{x}=\textbf{0}$
de vergelijking $A\textbf{x}=\textbf{b}$ heeft precies één oplossingsvector $\textbf{x}$ voor elke $\textbf{b}\in\mathbb{R}^{n}$
$A T$ is inverteerbaar
er is een n×n matrix B zodat $A B = I$
er is een n×n matrix C zodat $C A = I$
de kolommen van $A$ zijn lineair onafhankelijk
de rang van $A$ is n

[bewerk] Toepassing

Met behulp van inverse matrices kan men erg gemakkelijk stelsels vergelijkingen oplossen: Als $A$ een inverteerbare n×n matrix is, dan heeft de vergelijking $A\textbf{x}=\textbf{b}$ voor elke $\textbf{b}\in\mathbb{R}^{n}$ een unieke oplossing $\textbf{x}=A^{-1}\textbf{b}$

Categorie: Lineaire algebra