Reguläre Matrix

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In der Mathematik nennt man eine quadratische Matrix invertierbar oder regulär oder nichtsingulär, wenn eine inverse Matrix existiert. Dies bedeutet insbesondere, dass ein lineares Gleichungssystem genau dann eine eindeutige Lösung besitzt, wenn dessen Koeffizientenmatrix invertierbar ist.

[Bearbeiten] Fall eines Grundkörpers

Es sei $K$ ein Körper, also z.B. $\mathbb R$ oder $\mathbb C$ , und $A$ sei eine $n\times n$ -Matrix mit Einträgen aus $K$ .

Dann ist $A$ genau dann invertierbar, wenn eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt ist:

Es gibt eine inverse Matrix $A - 1$ , d.h. $A A - 1 = A - 1 A = I n$ mit der Einheitsmatrix $I n$ .
Die Determinante von $A$ ist nicht null.
0 ist kein Eigenwert.
Für alle $b\in K^n$ existiert genau eine Lösung $x\in K^n$ des linearen Gleichungssystems $A x = b$ .
Für alle $b\in K^n$ existiert mindestens eine Lösung $x\in K^n$ des linearen Gleichungssystems $A x = b$ .
Für alle $b\in K^n$ existiert höchstens eine Lösung $x\in K^n$ des linearen Gleichungssystems $A x = b$ .
Die Zeilenvektoren bilden eine Basis von $K n$ .
Die Zeilenvektoren sind linear unabhängig.
Die Zeilenvektoren erzeugen $K n$ .
Die Spaltenvektoren bilden eine Basis von $K n$ .
Die Spaltenvektoren sind linear unabhängig.
Die Spaltenvektoren erzeugen $K n$ .
Die durch $A$ beschriebene lineare Abbildung $K^n\to K^n$ , $x\mapsto Ax$ ist bijektiv.
Die durch $A$ beschriebene lineare Abbildung $K^n\to K^n$ , $x\mapsto Ax$ ist injektiv.
Die durch $A$ beschriebene lineare Abbildung $K^n\to K^n$ , $x\mapsto Ax$ ist surjektiv.
Die transponierte Matrix $A T$ ist invertierbar.

[Bearbeiten] Fall eines Grundringes

Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Einselement, und $A$ sei eine $n\times n$ -Matrix mit Einträgen aus $R$ . In dieser allgemeineren Situation sind nicht mehr alle der obigen Kriterien für die Invertierbarkeit gültig:

Die Matrix $A$ ist genau dann invertierbar, wenn eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt ist:

Es gibt eine inverse Matrix $A - 1$ , d.h. $A A - 1 = A - 1 A = I n$ mit der Einheitsmatrix $I n$ .
Die Determinante von $A$ ist eine Einheit in $R$ .
Für alle $b\in R^n$ existiert genau eine Lösung $x\in R^n$ des linearen Gleichungssystems $A x = b$ .
Die Zeilenvektoren bilden eine Basis von $R n$ .
Die Spaltenvektoren bilden eine Basis von $R n$ .
Die durch $A$ beschriebene $R$ -lineare Abbildung $R^n\to R^n$ , $x\mapsto Ax$ , ist bijektiv.
Die transponierte Matrix $A T$ ist invertierbar.

Ist $R$ noethersch, so sind diese Bedingungen auch äquivalent zu:

Für alle $b\in R^n$ existiert mindestens eine Lösung $x\in R^n$ des linearen Gleichungssystems $A x = b$ .
Die Zeilenvektoren erzeugen $R n$ .
Die Spaltenvektoren erzeugen $R n$ .
Die durch $A$ beschriebene $R$ -lineare Abbildung $R^n\to R^n$ , $x\mapsto Ax$ , ist surjektiv.

[Bearbeiten] Verwandte Begriffe

Die Menge aller invertierbaren $n\times n$ -Matrizen über einem Grundkörper (oder Grundring) $K$ bildet eine Gruppe bezüglich der Matrixmultiplikation, die allgemeine lineare Gruppe $GL n (K)$ .

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Kategorie: Lineare Algebra

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