Matriz invertible

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En matemáticas, y especialmente en álgebra lineal, una matriz A de dimensiones n×n se dice que es invertible, inversible o no singular si existe una matriz B de dimensiones n×n tal que

AB = BA = I_n,

donde I_n denota la matriz identidad de orden n (dimensiones n×n) y el producto utilizado es el producto de matrices usual. En este caso, la matriz B es única y se dice que es la inversa de A. Esto se denota por A^-1. Una matriz no invertible se dice que es singular.

La matriz inversa de A se denota por $A - 1$ y satisface la igualdad:

${A}\cdot {A^{-1}} = {A^{-1}}\cdot {A} = I$

Esta viene dada por:

${A^{-1}} = {1 \over {\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}}} \ (adj(A))^{T} \$

donde

${ {\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}}}$ = determinante de A,

$\ adj{(A)} \$ = matriz adjunta de A.

$\ (adj{(A)})^{T} \$ = matriz traspuesta de la adjunta de A.

Nótese que A tiene inversa si no es una matriz singular.

[editar] Propiedades de la matriz inversa

La inversa del producto de dos matrices es el producto de las inversas cambiando el orden:

$\left (B \cdot A \right ) ^{-1} = {A}^{-1} \cdot {B}^{-1}$

Si la matriz es invertible, también lo es su transpuesta, y el inverso de su transpuesta es la transpuesta de su inversa, es decir:

$\left(A^{T}\right)^{-1} = \left(A^{-1}\right)^{T}$

Y, evidentemente:

$\left(A^{-1}\right)^{-1} = A$

[editar] Teorema sobre la inversibilidad de las matrices cuadradas

Si A es una matriz de orden n, entonces existe B tal que A*B=B*A=I si y sólo si el determinante de A es distinto de cero.

Demostración: se probará por doble implicación.

1era parte

(A+B) todo a la inversa, es distinto que A a la inversa mas B a la inversa

$\left(A+B\right)^{-1}\neq A^{-1}+B^{-1}$

Si A es una matriz de orden n y existe B tal que A*B=B*A=I entonces el determinante de A es distinto de cero.

$\exists B\quad AB=BA=I\Rightarrow\det\left(A\right)\neq0$

aplicamos la función determinante

$\det\left(AB\right)=\det\left(BA\right)=\det\left(I\right)$

usando propiedades de los determinantes, además sabemos que det(I)=1

$\det\left(A\right)\det\left(B\right)=1$

Por lo tanto, det(A) es distinto de cero.

$\det\left(A\right)\neq0$

2da parte

Multiplicando la matriz A por su adjunta traspuesta

$A=\left(a\right)_{c\, d}$

$\mbox{Adj}\left(A\right)=\frac{\left(A^{\prime}\right)_{h\, k}}{\left(A^{\prime}\right)_{h\, k}}=\left(A\right)_{k\, h}$

$A\left(\mbox{Adj}A\right)^{t} = p_{l\, m} = \sum_{i=1}\left(a\right)_{l\, i}\left(A^{\prime}\right)_{i\, m} = \sum_{i=1}\left(a\right)_{l\, i}\left(A\right)_{m\, i} = \left\{~ _{\det\left(a\right)\mbox{ si }l=m}^{0\mbox{ si }l\neq m}\right. = \det\left(a\right)\delta_{l\, m} = \det\left(a\right)I$