Apgrieztā matrica

Vikipēdijas raksts

Kvadrātiskas, nesingulāras matricas $A$ apgrieztā matrica ir tāda matrica, kuru reizinot ar matricu $A$ , iegūst vienības matricu:

$A^{-1} \cdot A = A \cdot A^{1} = E$

Satura rādītājs

1 Paņēmieni apgrieztās matricas iegūšanai
- 1.1 1
- 1.2 2 Gausa metode
  - 1.2.1 Piemērs

[izmainīt šo sadaļu] Paņēmieni apgrieztās matricas iegūšanai

[izmainīt šo sadaļu] 1

$A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{A_{11}}{d} & \frac{A_{21}}{d} & \cdots & \frac{A_{n1}}{d} \\ \frac{A_{12}}{d} & \frac{A_{22}}{d} & \cdots & \frac{A_{n2}}{d} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \frac{A_{1n}}{d} & \frac{A_{2n}}{d} & \cdots & \frac{A_{nn}}{d} \end{pmatrix}$

kur $d$ ir matricas $A$ determinants un $A i j$ ir algebriskais papildinājums matricas minoram $M_{ij} = \left | a_{ij}\right |$ :
$A_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot M_{ij}$ .

[izmainīt šo sadaļu] 2 Gausa metode

Pieņemam, ka esam atraduši matricas $T 1$ līdz $T n$ , kuras secīgi piereizinot matricai $A$ , iegūstam vienības matricu $E$ :

$T_n \cdot \ldots \cdot\ T_2 \cdot T_1 \cdot A = E$

Tādā gadījumā viegli redzēt, ka varam izteikt apgriezto matricu kā $T i$ matricu reizinājumu:

$A^{-1} = T_n \cdot \ldots \cdot T_2 \cdot T_1 (\cdot E)$

Līdz ar to apgriezto matricu ir iespējams meklēt kā matricu $T i$ reizinājumu, ko savukārt var atrast, pārveidojot matricu $A$ par vienības matricu $E$ – pēc Gausa metodes.

Šim nolūkam saraksta kopā matricu $A$ un vienības matricu $E$ un ar matricu $A$ veic elementāros matricu pārveidojumus, lai pārveidotu to par $E$ . Tos pašus pārveidojumus paralēli veic arī ar matricu $E$ . Brīdī, kad kreisajā pusē esam ieguvuši vienības matricu, labajā pusē ir redzama matricas $A$ apgrieztā:

$(A | E) \sim \ldots \sim (E | A^{-1})$

[izmainīt šo sadaļu] Piemērs

Dota matrica $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

$\left ( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right | \left . \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right ) (1)\sim \left ( \begin{matrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right | \left . \begin{matrix} 1 & 0 & -3 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right ) (2)\sim \left ( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right | \left . \begin{matrix} 1 & -2 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right )$

(1) pārveidojumā 3. rindiņa tika pareizināta ar $- 1$ un pieskaitīta 2. rindiņai; 3. rindiņa tika pareizināta ar $- 3$ un pieskaitīta 1. rindiņai.
(2) pārveidojumā 2. rindiņa tika pareizināta ar $- 2$ un pieskaitīta 1. rindiņai.

Rezultātā esam ieguvuši apgriezto matricu $A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -2 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$