Functionaalanalyse
Inhoud |
[bewerk] Historische definitie
Oorspronkelijk is functionaalanalyse: de wiskundige analyse (meer bepaald de differentiaalrekening) toegepast op functies van functies. De oudste problemen in de functionaalanalyse zijn de extremaalproblemen van de variatierekening. Het gaat er daarbij om, een functie uit een gegeven klasse van functies te isoleren die een extreme (minimale of maximale) waarde van een of andere eigenschap bereikt.
In documenten van de Europese Unie en van het Vlaamse Fonds voor Wetenschappelijk Onderzoek duikt het synoniem functieanalyse op.
[bewerk] Voorbeeld
Een balletje rolt zonder wrijving van een berghelling van 1000 m hoogte over een horizontale afstand van 1000 m. Welke vorm moet de helling hebben om de afdaling zo kort mogelijk te laten duren? (zie ook brachistochroon)
Mathematisch beschouwen we de verzameling van alle gladde reële functies die dalen van (1000, 0) naar (0, 1000). De valtijd van het balletje, bij een gegeven hellingsfunctie, is een bepaalde integraal waarin de functie en haar eerste afgeleide optreden. Men noemt de valtijd een functionaal omdat hij een functie van een functie is.
Zoals in de gewone differentiaalrekening, kan ook de oplossing van dit optimalisatieprobleem worden bereikt door een afgeleide gelijk te stellen aan nul. De belangrijkste nieuwigheid is dat de functionaal niet langer afhangt van een eindig aantal reële parameters, maar van een functie - dus van een element uit een oneindigdimensionale ruimte.
[bewerk] Toepassingen in de natuurkunde
Een belangrijke vroege toepassing van de functionaalanalyse was de herformulering van de analytische mechanica door Joseph-Louis Lagrange (1736-1813). In de formulering van Lagrange volgt ieder mechanisch systeem een baan die bepaald wordt door het minimaliseren van een integraal, de zogenaamde actiefunctionaal ("beginsel van de minste actie").
Sinds het einde van de negentiende eeuw, met de studie van het elektromagnetische veld (Maxwellvergelijkingen) en later de kwantummechanica (Schrödinger- en Diracvergelijking) zijn andere belangrijke toepassingen gevonden van analyse op oneindigdimensionale ruimten. Een belangrijke impuls kwam hierbij van David Hilbert.
[bewerk] Moderne definitie
In de hedendaagse wiskunde betekent de term functionaalanalyse: studie van topologische vectorruimten. Een topologische vectorruimte is een reële of complexe vectorruimte, meestal oneindigdimensionaal, voorzien van een topologie die voldoet aan de Hausdorff-eigenschap (zie ook scheidingsaxioma) en die compatibel is met de gewone vectorbewerkingen; dat wil zeggen dat de optelling van vectoren en de scalaire vermenigvuldiging van een getal met een vector, continue functies zijn. De meeste "natuurlijke" functieverzamelingen kunnen worden opgevat als topologische vectorruimten. Het begrip distributie, uitgevonden door Paul Dirac en geformaliseerd door Laurent Schwartz, geeft aanleiding tot een topologische vectorruimte die geen functieruimte is (waarvan de vectoren geen gewone functies zijn).
De systematische studie van topologische vectorruimten nam een hoge vlucht sinds de jaren 1930, mede onder invloed van een groep wiskundigen onder leiding van Stefan Banach. Belangrijke begrippen zijn Banachruimte (een vectorruimte met een volledige norm) en Hilbertruimte (een Banachruimte waarvan de norm afkomstig is van een scalair product).
Thans is een goed begrip van onder meer de kwantummechanica onmogelijk zonder een grondige studie van de eigenschappen van topologische vectorruimten.
