Volledig (topologie)
Een metrische ruimte heet volledig als elke Cauchyrij convergeert, d.w.z. een limiet heeft binnen de metrische ruimte.
Inhoud |
[bewerk] Voorbeelden
De verzameling der reële getallen is volledig met de natuurlijke metriek. Ook het reële vlak en algemener de reële n-dimensionale ruimte zijn volledig voor de gewone, Euclidische afstand.
Elke gesloten deelverzameling van een volledige metrische ruimte is op haar beurt volledig (bijvoorbeeld: de niet-negatieve reële getallen, en het gesloten interval [0,1]).
De verzameling der breuken (rationale getallen) is niet volledig voor de natuurlijke metriek d(x,y) = |x-y|. Zo vormen de opeenvolgende decimale benaderingen van een niet-rationaal reëel getal een Cauchyrij zonder rationale limiet:
1
1,4
1,41
1,414
1,4142
1,41421
...
(de "limiet" zou de vierkantswortel van 2 moeten zijn, maar dat is geen breuk)
[bewerk] Vervollediging
Als een metrische ruimte niet volledig is, bestaat er een natuurlijk procédé om een "grotere" volledige ruimte te construeren, waarin de oorspronkelijke ruimte isometrisch ingebed kan worden. Op deze wijze kan men de verzameling der reële getallen definiëren als de vervollediging van de breuken (met hun natuurlijke afstandsfunctie).
Er bestaan enkele niet-standaard afstandsfuncties op de rationale getallen, waaruit alternatieve vervolledigingen ontstaan. Deze staan bekend onder de naam p-adische getallen.
[bewerk] Stelling van Baire
Een belangrijke eigenschap van volledige metrische ruimten wordt gegeven door de categoriestelling van Baire:
Een volledige metrische ruimte kan niet worden geschreven als aftelbare vereniging van deelverzamelingen waarvan de afsluiting een leeg inwendige heeft.
