Continue functie

In de wiskunde wordt een functie continu genoemd als, intuïtief gesproken, z'n grafiek geen `sprongen' vertoont. Dit betekent populair gezegd, dat van originelen die bij elkaar in de buurt liggen, ook de beelden bij elkaar in de buurt liggen. Continue afbeeldingen zijn onderwerp van studie in bijvoorbeeld de analyse en de topologie.

Veel `bekende' functies op de reële getallen, zoals voor t ≥ 0, de e-macht, sinus en cosinus, zijn continu. Ook zijn de som, het verschil en het product van twee continue functies weer continu.

Er bestaan verschillende definities van het begrip continuïteit. De meest bekende is de zogenaamde `epsilon-delta'-definitie, die de bovenstaande populaire formulering precisieert.

[bewerk] Definitie

Een functie heet continu in het punt a, als er voor elke ε > 0 een δ > 0 is zodanig dat voor alle punten x waarvoor | x - a | < δ, die dus bij a in de buurt liggen, geldt dat | f(x) - f(a) | < ε, wat inhoudt dat ook de beelden bij elkaar in de buurt liggen.

Dit kan uitgebreid worden naar metrische ruimten: als X en Y metrische ruimten zijn met metriek d_X respectievelijk d_Y en x is een punt in X, dan heet een functie continu in x als er voor elke ε > 0 een δ > 0 is zodanig dat het volgende geldt: als x' een punt van X is met d_X(x,x') < δ, dan is d_Y(f(x),f(x')) < ε. Dit kan op een formelere manier ook opgeschreven worden als

.

Een functie heet continu op X, of kortweg continu, als hij continu is in elk punt van X.

In de topologie wordt een afbeelding tussen twee topologische ruimten X en Y continu genoemd als voor elke open verzameling U van Y het volledig origineel f ^{- 1}(U) van U onder f open is in X. Er kan aangetoond worden dat voor metrische ruimten (die altijd ook topologische ruimten zijn) deze twee begrippen van continuïteit equivalent zijn.

[bewerk] Voorbeeld

De blauwe en de rode krommen zijn continu, de groene niet (er zijn sprongpunten).

De afgeleiden van bovenstaande krommen. Merk op dat, hoewel de rode kromme continu was, zijn eerste afgeleide niet continu is, er zijn twee sprongpunten in de afgeleide: punten waar de richtingscoëfficiënt in de kromme (zie bovenste figuur) plots verandert.

[bewerk] Eigenschappen van continue functies

Bij de bewijzen van de volgende eigenschappen van continue functies is de stelling van de kleinste bovengrens nodig.

• Elke functie die op een gesloten interval continu is, is daar ook begrensd. De geslotenheid is hier van belang: de functie 1/x is op <0, 1] wel continu maar niet begrensd.
• Een functie die continu is op een bepaald interval en daar positieve en negatieve waarden aanneemt, heeft in dat interval ten minste één nulpunt. Een gevolg daarvan is:
• Een functie f die op een gesloten interval [a, b] continu is en verschillende waarden aanneemt bij a en b, neemt op dat interval alle waarden tussen f(a) en f(b) aan.