平方根

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平方根（へいほうこん、square root）とは、ある数が与えられた時、二乗して与えられた数となるような新たな数を指す。二乗根（にじょうこん）、自乗根（じじょうこん）とも云う。

[編集] 定義

負でない実数 a に対して、a = b² となるような b を、a の平方根（へいほうこん）という。a = 0 ならば a の平方根は 0 のみである。a が正のとき平方根は正と負の二つ存在し、そのうち正である方を便宜的に

$\sqrt{a}$

と表す。記号 √ を根号（こんごう）と呼ぶ。そうすると、a の平方根は ±√a と表記される。便宜的に √0 = 0 とする。例えば、16 の平方根は 4 と −4 の二個であり、√16 は 4 の方を表す。−4 は −√16 と表される。

また、a が簡単な整数であっても a の平方根は整数になるとは限らない。例えば √10 は小数表示すれば 3.16227766016… と続く無理数である。平方根がふたたび整数となるような整数は平方数と呼ばれる。整数や小数で表された数の平方根を筆算などを用いて求める方法も知られていて、それを開平法と云う。

[編集] 負の数への拡張

a が負の数のときは厄介な問題が生じる。平方根は実数の中には存在せず、複素数まで数の範囲を拡げると、 a の平方根、すなわち a = b² を満たすような b は二つ存在する。このうちのいずれを √a と定めるべきであるかということには必然的な答えを見出すことはできない。論理的にはどちらを選んだのかを一意的に区別することができないのである。

b² = −1 の二つある根のうちどちらでもよい からひとつの解を i （虚数単位と呼ばれる）で表し、負の数 a に対して

$\sqrt{a} = \sqrt{|a|}\,i$

とする。

このように定義すれば、b² = a の根は ±√a と求めることができる（a = −1 のとき √−1 = i だからこう定めることに矛盾はない）。しかしながら、i は b² = −1 の根であればどちらでもよかったこと、どちらを選んでももう一方の根は −i であることを考えれば、負の数 a に対する √a という記号は単独で 方程式 b² = a の根のいずれか一方を一意的に指し示すものではなく 、 i のとり方に依存してようやく一つの数を指し示している、ということが理解されなければならない。