シンプレクティック多様体
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』
シンプレクティック多様体（-たようたい、Symplectic manifold）
Mを多様体とする。 M上の閉２次形式ωが非退化であるとき、すなわち、M上の任意の点pで
であるとき、ωはM上のシンプレクティック形式であると言う。
シンプレクティック形式ωの定義された多様体Mをシンプレクティック多様体と呼ぶ。シンプレクティック形式の非退化性から、シンプレクティック多様体の次元は必ず偶数となる。
[編集] シンプレクティックベクトル空間
Ｖをｎ次元ベクトル空間であるとする。 さらに、ｎ×ｎ行列
はＶ上の歪対称な正則写像、つまり、
であるとする。 このとき、
はシンプレクティックベクトル空間といい、 をＶ上のシンプレクティック形式という。 に関する条件から、Ｖの次元は必ず偶数でなくてはならない。
Ｖが無限次元ベクトル空間にも、シンプレクティック形式は拡張される。 Ｖをバナッハ空間とする。Ｖ上の双線型写像 
が
(1) 
(2) 
を満たすとき、をＶ上の弱い意味でのシンプレクティック形式という。
さらに、によって、Vから その双対空間 V * への線型写像
が得られるが、
が同型写像を与えるとき、 を強い意味でのＶ上のシンプレクティック形式という。
[編集] カテゴリー
[編集] 関連項目
- シンプレクティック同相写像
- ダルブー座標
- ハミルトンベクトル場
- ポアソン多様体
- 概複素構造
- 接触構造
- シンプレクティック簡約化
- ラグランジュ部分多様体
- フレアーホモロジー
