Insieme (matematica)
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Il concetto di insieme costituisce l'elemento fondante di tutta la matematica moderna: qualunque testo introduttivo e qualunque area della matematica inizia con nozioni di teoria degli insiemi.
Con il termine insieme si indica una collezione di oggetti chiamati elementi dell'insieme. Gli elementi possono o esserci o non esserci, non ci sono vie di mezzo, non possono comparire più volte e non hanno un ordine di comparizione. Gli elementi caratterizzano univocamente l'insieme: due insiemi coincidono se e solo se hanno gli stessi elementi.
Il concetto di insieme è primitivo ed intuitivo.
- "primitivo" perché non può essere derivabile da concetti più elementari,
- "intuitivo" perché nasce spontaneamente nella nostra mente ed ivi ne è sepolto.
Indice |
[modifica] Descrizioni di insiemi
Un insieme viene indicato solitamente con le lettere maiuscole dell'alfabeto: A, B, C, Z, X ... e deve essere univocamente determinato.
Un insieme può essere definito nei seguenti modi:
- In forma tabulare o per elencazione: vengono elencati tutti gli elementi, in tal caso la convenzione comune è quella di scrivere l'elenco degli elementi tra parentesi graffe separati da virgole, ad esempio:
-
- F = {rosa, giglio, geranio}
- questo tipo di definizione è utilizzabile solo nel caso di insiemi finiti, per gli insiemi infiniti si fa talvolta uso di puntini di sospensione laddove si ritiene che è evidente il modo in cui sono stati scelti gli elementi, ad esempio:
- Per caratteristica o in estensione: come l'insieme di tutti gli oggetti che verificano una determinata proprietà P. In tal caso si usa la scrittura {x:P(x)} dove al posto di P(x) può comparire la descrizione di una particolare proprietà. Es. : F = { x : x è un fiore} (F è definito come l'insieme degli x tale che x è un fiore),
[modifica] Operazioni tra insiemi
Le principali operazioni tra insiemi sono:
- L' unione di due insiemi A e B: si indica con A∪B ed è data dall'insieme formato da tutti gli elementi che appartengono all'insieme A o all'insieme B o a entrambi.
- L' intersezione di due insiemi A e B: si indica con A∩B ed è data dall'insieme formato da tutti gli elementi che appartengono sia all'insieme A che all'insieme B contemporaneamente.
- La differenza B meno A si indica con B\A o con B-A ed è data dall'insieme formato dai soli elementi di B che non appartengono ad A. B-A viene anche detto insieme complementare di A in B.
[modifica] Relazioni tra insiemi
Due insiemi A e B si dicono:
- coincidenti: se sono lo stesso insieme, questo si verifica se e solo se hanno gli stessi elementi
- disgiunti: non hanno nessun elemento in comune
Si dice che B è sottoinsieme di A se A contiene tutti gli elementi di B. In tal caso si usa la notazione:
che si legge: "B è un sottoinsieme proprio di A" oppure "B è incluso propriamente in A" oppure "B è contenuto propriamente in A".
[modifica] L'insieme vuoto
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Per approfondire, vedi la voce insieme vuoto. |
Si chiama insieme vuoto l'insieme che non contiene nessun elemento. Tale insieme si indica con il simbolo 
oppure con le parentesi graffe aperte e chiuse {}.
L'insieme vuoto è sottoinsieme di qualsiasi altro insieme (incluso sé stesso).
[modifica] Insiemi speciali
Alcuni insiemi hanno un ruolo particolarmente importante e pervasivo in tutte le branche della matematica:
- L'insieme N dei numeri naturali
- L'insieme Z dei numeri interi
- L'insieme Q dei numeri razionali
- L'insieme R dei numeri reali
- L'insieme C dei numeri complessi
[modifica] Cardinalità
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Per approfondire, vedi la voce Numero cardinale (matematica). |
Gli insiemi possono essere classificati in base al numero di elementi; in particolare un insieme è
- finito: se ha un numero finito di elementi;
- infinito: se ha infiniti elementi.
La cardinalità di un insieme lo caratterizza in base al numero dei suoi elementi.
Due particolari tipi di insieme sono: l'insieme vuoto, cioè privo di elementi, indicato con il simbolo oppure ∅, o talvolta con "{}", la sua cardinalità è zero; e l'insieme universo, cioè che contiene tutti gli insiemi esistenti (incluso anche l'insieme vuoto), e che viene indicato con U.
Graficamente gli insiemi si rappresentano con i diagrammi di Eulero/Venn.
