Insieme complemento
Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.
Nella teoria degli insiemi e in altri campi della matematica, esistono due tipi di insieme complemento, il complemento relativo (detto anche insieme differenza) e il complemento assoluto.
Indice |
[modifica] Complemento relativo
Avendo due insiemi A e B, il complemento di A rispetto a B o l'insieme differenza B meno A, è formato dai soli elementi di B che non appartengono ad A. Esso si indica solitamente come oppure come . Formalmente abbiamo:
Si noti che l'insieme differenza B - A è un sottoinsieme dell'insieme B.
[modifica] Esempi
- {1,2,3,4,5} - {3} = {1,2,4,5}
- {a,b,c,d} - {c,d,e,f} = {a,b}
- {1,2,3} − {2,3,4} = {1}
- {2,3,4} − {1,2,3} = {4}
[modifica] Proposizioni
Se A, B e C sono insiemi, allora valgono le seguenti identità:
[modifica] Complemento assoluto
Il complemento assoluto è un caso particolare del complemento relativo.
Se è definito un insieme universo U, si definisce complemento assoluto di A come il complemento relativo di A rispetto ad U. Formalmente abbiamo:
Il complemento assoluto, indicato anche come AC o ~ A, rappresenta anche il NOT nell'algebra Booleana.
A titolo di esempio, se l’insieme universale è l’insieme dei numeri naturali, allora il complemento dell’insieme dei numeri dispari è l’insieme dei numeri pari.
La prossima proposizione riporta alcune proprietà fondamentali del complemento assoluto in rapporto alle operazioni insiemistiche di unione e intersezione.
PROPOSIZIONE 2: Se A e B sono sottoinsiemi di un insieme universo U, allora valgono le seguenti identità:
- leggi di De Morgan:
-
- (A ∪ B)C = AC ∩ BC
- (A ∩ B)C = AC ∪ BC
-
- Leggi di complementarità:
-
- A ∪ AC = U
- A ∩ AC = Ø
- ØC = U
- UC = Ø
- Se A⊆B, allora BC⊆AC (ciò segue dall’equivalenza di una proposizione condizionale con la proposizione contronominale)
-
- Involuzione o legge del doppio complemento:
-
- (AC)C = A.
-
- Relazioni tra complemento relativo e complemento assoluto:
-
- A − B = A ∩ BC
- (A − B)C = AC ∪ B
-
Le prime due leggi di complementarità mostrano che se A è un sottoinsieme non vuoto di U, allora {A, AC} è una partizione di U.