Curva ellittica
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In matematica una curva ellittica è una curva algebrica piana definita da un'equazione del tipo
- y2 = x3 + a x + b,
non singolare. Quindi la curva non deve avere cuspidi o auto-intersezioni (quando la caratteristica del campo è 2 o 3 l'equazione non è abbastanza generale da contenere tutte le curve cubiche non singolari).
Se y2 = P(x), e P è un polinomio di grado tre o quattro in x senza radici coincidenti si ottiene una curva piana non singolare di genere uno. Più in generale l'intersezione di due quadriche tridimensionali genera una curva ellittica di genere 1.
Si dimostra che le curve ellittiche corrispondono alla proiezione di un toro in un piano complesso. La proiezione generalizzata in un campo arbitrario genera curve ellittiche algebriche, proiettive e non singolari di genere 1 su un campo K
Le curve ellittiche sono molto importanti nella teoria dei numeri e ne costituiscono il maggior campo di ricerca attuale. Per esempio furono utilizzate da Andrew Wiles (con l'assistenza di Richard Taylor) per la risoluzione dell'ultimo teorema di Fermat. Queste curve inoltre hanno molte applicazioni della crittografia (vedi le voci sulla crittografia ellittica e sulla fattorizzazione).
