타원곡선

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타원곡선(橢圓曲線)은 대수 기하학과 정수론의 중요한 연구대상인 대수 곡선의 일종으로 그 종수(genus)가 1인 매끈한 것을 말한다. 그러나, 타원곡선이라는 이름의 한국어 번역에서 보이는 것과는 다르게, 실제 많은 일반인들이 알고 있는 타원과는 그다지 큰 상관은 없다.

타원곡선을 평면상에서 보면, 방정식

y² = x³ + a x + b

로 표시되는 자취로써, 매끈한 것을 말한다. 여기서 매끈하다는 것은 특이점들이 없다는 것, 즉, 첨점이나 교차점이 없다는 것을 뜻한다.

복소수 체위에서 정의되는 타원곡선의 경우에는, 이러한 타원곡선을 사영 공간속으로 넣을 때에는, 모든 타원 곡선은, 토러스와 같은 형태로 표현된다.

타원곡선들은 특히 정수론에서 많은 중요한 문제들이 있어왔으며, 많은 중요한 연구들이 수행되고 있는 중이다. 예를 들면, 앤드루 와일스의 유명한 페르마의 마지막 정리같은 증명도 타원곡선의 이론을 사용하였다. 한편, 현대 컴퓨터 과학에서는 타원 곡선을 이용한 암호학도 중요한 연구분야 중 한가지이다.

세간에서 생각하는 것과는 다르게, 아까도 언급한 것 처럼, 타원곡선은 타원과는 상관이 많지 않다. 타원이라는 이름이 나온 것은 타원적분이라는 이름이 붙은 19세기의 적분식에서 비롯된 것이다.

타원곡선의 중요한 성질 하나는, 이 곡선위의 점들이 가환군을 형성한다는 것이다. 이 가환군의 여러가지 성질들이 바로 많은 수학자들이 타원곡선에 대한 연구에 몰두하게 하는 이유들 중의 한가지이다.

[편집] 실수 위에서 정의된 타원곡선

타원곡선에 대한 엄격하고 올바른 정의를 내리려면, 사실, 대수기하학에 대한 어느 정도의 배경 지식이 필요하다. 그러나, 실수 체위에서 정의된 타원곡선들에 대해서는, 단지 고등학교 수준의 대수학과 기하학에 대한 지식 만으로도 어느 정도 설명을 하는 것이 불가능 한 일은 아니다.

실수 위에서 정의된 타원곡선을 평면 상에서 본다면, 이 것은 방정식

y² = x³ + a x + b

로 표시된다. 이때 a와 b도 실수이다. 이런 형태의 방정식을 바이어슈트라스 방정식이라고 부른다.

예를들자면, 다음의 그림들은, 방정식 y² = x³ − x와 y² = x³ − x + 1 가 표시하는 실수위에서 정의된 타원곡선들을 그린 것이다:

타원곡선의 정의는, 이 곡선이 매끈한, 즉, 비특이한 것이라는 조건을 일부로 포함한다. 기하학적으로 말하자면, 이 말은, 곡선의 그래프가 첨점이나 교차점이 없다는 것을 말한다. 대수적으로도 이것을 설명할 수 있는데, 이것은, 판별식

Δ = −16(4a³ + 27b²)

을 통해 이해할 수 있다. 기하학적으로 타원곡선이 매끈하다는 것은, 위의 판별식이 0이 아니라는 것과 동치조건이다. (이 판별식 표현에서 −16이라는 것이 아무 의미가 없는 것 처럼 보일 수 있지만, 사실은, 타원곡선을 깊이 공부하다보면 아주 중요한 역할을 하게 된다.)

만약, 타원곡선이 매끈하다면, 판별식이 양인 수일 경우, 그래프는 두개의 연결 부분을 가지고, 음의 수일 경우, 하나의 연결 부분만을 가진다. 예를들자면, 위의 그래프에서 볼수 있듯이, 첫번째 경우의 판별식은 64, 두번째 경우의 판별식은 −368이다.