Courbe elliptique

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En mathématiques, une courbe elliptique est une courbe dans le plan définie par l'équation de la forme :

$y^2+a_1 x y + a_3 y = x^3 +a_2 x^2 +a_4 x + a_6~$

qui n'est pas singulière, c'est à dire que la courbe n'a aucune intersection avec elle-même. C'est un cas particulier d'équation polynomiale de degré 3 à deux variables, $x$ et $y$ . Les coefficients $a 1, a 2, a 3, a 4, a 6$ sont des éléments d'un corps $K$ donné. Plus formellement, une courbe elliptique $E$ est définie par:

$E(K) = \{ (x,y) \in K\times K : y^2+a_1 x y + a_3 y = x^3 +a_2 x^2 +a_4 x + a_6 \}~$

pour des coefficients $a_1,a_2,a_3,a_4,a_6 \in K$ fixes. Il se trouve que les courbes elliptiques sont des projections de tores dans le plan complexe, donc elles sont des courbes algébriques non-singulières de genre 1 sur un corps $K$ .

Il ne faut pas confondre cet objet mathématique avec une ellipse. Le terme de courbe elliptique vient des intégrales elliptiques. Les courbes elliptiques sont particulièrement importantes en théorie des nombres et constituent un important sujet de recherche. Par exemple, elles sont utilisées pour la preuve du dernier théorème de Fermat. On les utilise aussi en cryptologie et dans le problème de la factorisation des entiers.

Sommaire

1 Courbes elliptiques sur les nombres réels
- 1.1 La loi de groupe, description géométrique
- 1.2 La loi de groupe, description algébrique
2 Conjectures reliées aux courbes elliptiques
3 Applications aux algorithmes
4 Voir aussi

[modifier] Courbes elliptiques sur les nombres réels

Malgré une définition formelle plutôt compliquée et nécessitant des connaissances en géométrie algébrique, il est possible de décrire les courbes elliptiques sur les nombres réels avec des résultats plus abordables.

Dans ce contexte, la courbe elliptique est décrite par l'équation de Weierstrass sous la forme :

$y^2 = x^3 + ax + b~$

où $a, b$ sont des nombres réels.

Modifier ces coefficients va modifier la forme de la courbe, voici deux possibilités parmi une infinité :

On remarque que ces courbes ne s'intersectent jamais avec elles-mêmes. C'est la définition géométrique de la non-singularité. Algébriquement, cela nécessite de calculer le discriminant de la courbe :

$\Delta = -16(4a^3 + 27b^2)~$

Un discriminant différent de zéro indique une courbe non-singulière. Le facteur -16 peut paraître inutile à ce stade mais il intervient dans l'étude plus avancée des courbes elliptiques. Une courbe non-singulière peut dès lors prendre deux formes :

discriminant positif, la courbe présente deux composantes (image de gauche avec deux courbes séparées et un discriminant de 64)
discriminant négatif, la courbe présente une seule composante (image de droite, discriminant de -368)

[modifier] La loi de groupe, description géométrique

Informellement, à partir de deux points $P, Q$ sur la courbe elliptique $E$ , on en obtient un troisième, qui correspond à $P + Q$ , qui se situe également sur $E$ et qui est défini uniquement via le procédé suivant. On prend la droite qui passe par les points $P, Q$ et le troisième point d'intersection est défini comme correspondant à $- (P + Q)$ . Il y a trois cas particuliers:

Si $P = Q$ , autrement dit on veut doubler le point $P$ pour obtenir $2 P$ , alors la droite qu'on prend est la tangente au point $P$ .
Si $P\not =Q$ , mais la droite est tangente à un des points, alors le troisième point correspond à ce même point.
Si la droite obtenue est verticale (c'est-à-dire parallèle à l'axe des y), alors le troisième point est défini comme étant le point à l'infini, tel qu'élaboré plus bas.

Les courbes elliptiques sont telles que tous les cas possibles sont couverts par les conditions ci-dessus.

Plus formellement, pour obtenir la loi de groupe sur les nombres réels $\mathbb R$ , on doit définir ce qu'on veut dire, pour des points $P,Q \in E(\mathbb R)$ , par inverse additif $- P$ et addition $P + Q$ . Pour ce faire, on ajoute à la courbe elliptique un point à l'infini afin d'obtenir la version projective de la courbe.

On définit l'identité additive, dénotée $O$ , comme étant le point à l'infini. Soit $P = O$ . Alors, $- P = O$ et $P + Q = Q$ .
On définit l'inverse additif de $P$ , dénoté $- P$ . Soit $P=(x,y) \in E$ . Alors $- P = (x, - y)$ et $-P\in E$ si et seulement si $P\in E$ . Ceci est intuitif, puisque la solution pour les $y$ dans l'équation de $E$ est double: $y = \pm \sqrt{x^3+bx+c}$ .
On définit l'addition P + Q en général. Soit P = (x,y) et Q = (x',y') sur E.
1. Si
  1. Si
    1. Si la droite entre $P, Q$ n'est pas tangente à la courbe, alors elle intersecte $E$ à un troisième point $R$ et on définit: $P+Q=-R~$ .
    2. Si la droite entre $P, Q$ est tangente à la courbe au point $P$ , alors on définit: $P+Q=-P~$ .
  2. Si $x = x'$ , autrement dit $P = - Q$ , alors on définit: $P+Q=O~$ .
  3. On pose $\lambda = {{y'-y}\over{x'-x}}$
2. Si P = Q
  1. Si $P$ n'est pas un point d'inflexion (pas de tangente double), alors la tangeante au point $P$ intersecte $E$ à un point $R$ et on définit: $P+Q=-R~$ .
  2. Si $P$ est un point d'inflexion, alors on définit: $P+Q=-P~$ .
  3. On pose $\lambda = {{3x^2 + 2 a_2 x + a_4 + a_1 y}\over{2y + a_1 x + a_3}}$

On donne alors les coordonnées de

P + Q = (x s, y s)

x s = (λ 2 + a 1 λ - a 2 - x - x')

y s = (λ(x - x s) - y - a 1 x s - a 3)

[modifier] La loi de groupe, description algébrique

Soit $y 2 = x 3 + a x + b$ dans les nombres réels (ou, en général, tout corps $K$ ayant une caractéristique supérieure à 3) et les points $P = (x P, y P)$ et $Q = (x Q, y Q)$ sur la courbe.

Supposons, dans un premier lieu, que $x_P\not = x_Q$ . Posons $s = (y P - y Q) / (x P - x Q)$ qui est bien défini, puisque $K$ est un corps. Alors, on définit $R = P + Q = (x R, y R)$ par

x R = s 2 - x P - x Q

y R = - y P + s (x P - x R)

Pour voir ceci, il suffit de considérer la droite qui passe par les point $P$ , $Q$ et $R$ d'équation $y = s x + t$ , où le calcul de $s$ ci-haut est celui de sa pente. Ensuite, on trouve l'intersection de cette droite avec E.

En deuxième lieu, si $x P = x Q$ , alors il y a encore deux cas. Si $y P = - y Q$ , alors la somme est de $O$ ; géométriquement, ceci correspond à ce que l'inverse additif d'un point se trouve à être son reflet symétrique par l'axe des abscisses. Si $y_P = y_Q \not = 0$ , alors on définit $R = P + P = 2 P = (x R, y R)$ par

$s = {(3{x_P}^2 +a)}/{(2y_P)}$

x R = s 2 - 2 x P

y R = - y P + s (x P - x R)

[modifier] Conjectures reliées aux courbes elliptiques

Conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer.
Conjecture de Shimura-Taniyama-Weil maintenant dénommée Théorème de Taniyama-Shimura.

[modifier] Applications aux algorithmes

Les courbes elliptiques définies sur des corps finis ont des applications en algorithmique, notamment en cryptographie et pour la factorisation d'entiers. Généralement, l'idée derrière la composition originale de ces algorithmes fut celle d'une généralisation d'un corps fini vers une courbe elliptique. Autrement dit, on a adapté des algorithmes qui faisaient usage de corps finis pour qu'ils fassent usage de courbes elliptiques à leur place.