Curva Bézier

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Nel campo matematico della analisi numerica una curva Bézier è un'importante curva parametrica usata nella computer grafica. Un metodo numericamente stabile per calcolare le curve Bézier è l'algoritmo di de Casteljau.

Una generalizzazione delle curve Bézier in tre dimensioni è chiamata superficie Bézier di cui il triangolo Bézier è uno specifico caso.

Indice

1 Storia
2 Analisi dei casi
3 Generalizzazione
- 3.1 Terminologia
- 3.2 Note
4 Applicazioni nella computer grafica
5 Curve Bézier razionali
6 Voci correlate
7 Riferimenti
8 Collegamenti esterni

[modifica] Storia

Le curve Bézier furono largamente pubblicizzate nel 1962 dall'ingegnere Francese Pierre Bézier che le usò per disegnare le carrozzerie delle automobili. Le curve furono realizzate nel 1959 da Paul de Casteljau usando l'algoritmo di de Casteljau.
Bézier stabilì un modo di realizzare le curve che partiva da due punti e una linea vettoriale appunto, un sistema innovativo che permette ancora oggi agli operatori grafici di realizzare disegni curvilinei bellissimi e precisi. Le curve Bézier possono essere realizzate da molti programmi di grafica vettoriale come Corel Draw, Illustrator o FreeHand.

[modifica] Analisi dei casi

[modifica] Curve Bézier lineari

Dati i punti P₀ e P₁, una curva Bézier lineare è una linea retta che li attraversa. La curva è data da

$\mathbf{B}(t)=(1-t)\mathbf{P}_0 + t\mathbf{P}_1 \mbox{ , } t \in [0,1].$

[modifica] Curve Bézier quadratiche

Una curva Bézier quadratica è il percorso tracciato tramite la funzione B(t), dati i punti P₀, P₁, e P₂,

$\mathbf{B}(t) = (1 - t)^{2}\mathbf{P}_0 + 2t(1 - t)\mathbf{P}_1 + t^{2}\mathbf{P}_2 \mbox{ , } t \in [0,1].$

I fonts TrueType usano le spline Bézier composte da curve Bézier quadratiche.

[modifica] Curve Bézier cubiche

I quattro punti P₀, P₁, P₂ e P₃ nel piano o in uno spazio tridimensionale definiscono una curva Bézier cubica. La curva ha inizio in P₀ si dirige verso P₁ e finisce in P₃ arrivando dalla direzione di P₂. In generale, essa non passa dai punti P₁ o P₂; questi punti sono necessari solo per dare alla curva informazioni direzionali. La distanza tra P₀ e P₁ determina quanto la curva si muove nella direzione di P₂ prima di dirigersi verso P₃.

La forma parametrica della curva è:

$\mathbf{B}(t)=\mathbf{P}_0(1-t)^3+3\mathbf{P}_1t(1-t)^2+3\mathbf{P}_2t^2(1-t)+\mathbf{P}_3t^3 \mbox{ , } t \in [0,1].$

I moderni sistemi di imaging come PostScript, METAFONT e GIMP usano le spline Bézier composte da curve Bézier cubiche per disegnare forme curve.

[modifica] Generalizzazione

La curva Bézier di grado $n$ può essere generalizzata come segue. Dati i punti P₀, P₁,..., P_n, La curva Bézier è:

$\mathbf{B}(t)=\sum_{i=0}^n {n\choose i}\mathbf{P_i}(1-t)^{n-i}t^i =\mathbf{P}_0(1-t)^n+{n\choose 1}\mathbf{P}_1(1-t)^{n-1}t+\cdots+\mathbf{P}_nt^n \mbox{ , } t \in [0,1].$

Per esempio, per $n = 5$ :

$\mathbf{B}(t)=\mathbf{P}_0(1-t)^5+5\mathbf{P}_1t(1-t)^4+10\mathbf{P}_2t^2(1-t)^3+10\mathbf{P}_3t^3(1-t)^2+5\mathbf{P}_4t^4(1-t)+\mathbf{P}_5t^5 \mbox{ , } t \in [0,1].$

[modifica] Terminologia

Un po' di terminologia è associata a queste curve parametriche. Abbiamo

$\mathbf{B}(t)=\sum_{i=0}^n {n\choose i}\mathbf{P_i}(1-t)^{n-i}t^i,\quad t\in[0,1]$

I polinomi

${n\choose i}(1-t)^{n-i}t^i$

sono conosciuti come polinomi di base di Bernstein di grado n e sono definiti da

$b_{i,n}(t):= {n \choose i} t^i (1-t)^{n-i},\qquad i=0,\ldots n.$

definito 0⁰ = 1.

I punti P_i sono chiamati punti di controllo per la curva Bézier. Il poligono formato connettendo i punti attraverso linee rette, iniziando da P₀ e finendo con P_n è l'insieme convesso contentente i punti P_i . Questo poligono è chiamato poligono Bézier, ed esso contiene la curva Bézier.

[modifica] Note

La curva inizia in P₀ e termina in P_n; questa è chiamata la proprietà della interpolazione di punto finale.
La curva è una linea retta se e solo se tutti i punti di controllo giacciono sulla curva, similmente, la curva Bézier è una linea retta se e solo se i punti di controllo sono collineari.
L'inizio (fine) della curva è tangente al primo (ultimo) lato del poligono Bézier.
Una curva può essere spezzata in qualsiasi punto in 2 sottocurve, o in un arbitrario numero di sottocurve, ognuna delle quali è essa stessa una curva Bézier.
Un cerchio non può essere esattamente formato da una curva Bézier, come neanche un arco di cerchio. Comunque una curva Bézier è un'adeguata approssimazione di un arco circolare abbastanza piccolo.

[modifica] Applicazioni nella computer grafica

Le curve Bézier sono largamente usate nella computer grafica per modellare curve smussate. Dato che la curva è contenuta completamente nell'insieme convesso dei suoi punti di controllo, i punti possono essere visualizzati graficamente ed usati per manipolare la curva intuitivamente. Trasformazioni geometriche come traslazione, omotetia e rotazione possono essere applicate alla curva applicando le rispettive trasformazioni sui punti di controllo della curva.

Le più importanti curve Bézier sono le quadratiche e cubiche. Curve di grado più alto sono molto più costose da valutare. Quando sia necessario realizzare forme più complesse, più curve di secondo o terzo ordine sono "incollate" insieme (obbedendo a certe condizioni di smooth) in forma di spline Bézier.

Il codice seguente è un semplice e pratico esempio che mostra come disegnare una curva Bézier cubica in C. Da notare che viene semplicemente calcolato il coefficiente del polinomio e si cicla su una serie di valori di t da 0 a 1 - in pratica questo è come viene effettivamente fatto, anche se esistono altri metodi come l'algoritmo di de Casteljau che sono spesso citati in discussioni sulla grafica. Questo perché in pratica un algoritmo lineare come questo è veloce e meno costoso di uno ricorsivo come quello di de Casteljau.

/******************************************************
 Codice per generare una curva Bézier cubica
 Attenzione - codice non testato
*******************************************************/

 typedef struct
 {
        float x;
        float y;
 }
 Point2D;

/******************************************************
 cp è un array di 4 elementi dove:
 cp[0] è il punto iniziale
 cp[1] è il primo punto di controllo
 cp[2] è il secondo punto di controllo
 cp[3] è il punto finale

 t è il valore del parametro, 0 <= t <= 1
*******************************************************/

 Point2D PointOnCubicBezier( Point2D* cp, float t )
 {
        float   ax, bx, cx;
        float   ay, by, cy;
        float   tSquared, tCubed;
        Point2D result;
        
        /* calcolo dei coefficienti del polinomio */
        
        cx = 3.0 * (cp[1].x - cp[0].x);
        bx = 3.0 * (cp[2].x - cp[1].x) - cx;
        ax = cp[3].x - cp[0].x - cx - bx;
        
        cy = 3.0 * (cp[1].y - cp[0].y);
        by = 3.0 * (cp[2].y - cp[1].y) - cy;
        ay = cp[3].y - cp[0].y - cy - by;
        
        /* calcolo del punto della curva in relazione a t */
        
        tSquared = t * t;
        tCubed = tSquared * t;
        
        result.x = (ax * tCubed) + (bx * tSquared) + (cx * t) + cp[0].x;
        result.y = (ay * tCubed) + (by * tSquared) + (cy * t) + cp[0].y;
        
        return result;
 }

/*****************************************************************************
 ComputeBezier riempe un array di strutture Point2D  con i punti della curva 
 generati dai punti di controllo cp. Il chiamante deve allocare memoria 
 sufficiente per il risultato che è <sizeof(Point2D) * numeroDiPunti>
******************************************************************************/

 void   ComputeBezier( Point2D* cp, int numberOfPoints, Point2D* curve )
 {
        float   dt;
        int       i;
        
        dt = 1.0 / ( numberOfPoints - 1 );
        
        for( i = 0; i < numberOfPoints; i++)
                curve[i] = PointOnCubicBezier( cp, i*dt );
 }

[modifica] Curve Bézier razionali

Alcune curve che sembrano semplici, come il cerchio, non possono essere descritte da una curva Bézier, quindi abbiamo bisogno di maggiori gradi di libertà.

La curva Bézier razionale aggiunge pesi che possono essere aggiustati. Il numeratore è una curva Bézier in forma di Bernstein pesata e il denominatore è una somma pesata di polinomi di Bernstein

Dati n+1 punti di controllo P_i, la curva Bézier razionale è data da:

$\mathbf{B}(t) = \frac{ \sum_{i=0}^n b_{i,n}(t) \mathbf{P}_{i}w_i } { \sum_{i=0}^n b_{i,n}(t) w_i }$

o semplicemente

$\mathbf{B}(t) = \frac{ \sum_{i=0}^n {n \choose i} t^i (1-t)^{n-i}\mathbf{P}_{i}w_i } { \sum_{i=0}^n {n \choose i} t^i (1-t)^{n-i}w_i }.$

[modifica] Voci correlate

algoritmo di de Casteljau
spline
spline Bézier
superficie Bézier
triangolo Bézier
NURBS

[modifica] Riferimenti

Paul Bourke: Bézier curves, http://astronomy.swin.edu.au/~pbourke/curves/bezier/
Donald Knuth: Metafont: the Program, Addison-Wesley 1986, pp. 123-131. Eccellente discussione sui dettagli implementativi; disponibile gratuitamente come parte della distribuzione T_EX.
Dr. Thomas Sederberg, BYU Bézier curves, http://www.tsplines.com/resources/class_notes/Bezier_curves.pdf

[modifica] Collegamenti esterni

Living Math Bézier applet
Living Math Bézier applets of different spline types, JAVA programming of splines in An Interactive Introduction to Splines
Don Lancaster's Cubic Spline Library descrive come approssimare un cerchio (o un'arco di cerchio o una iperbole) con una curva Bézier;
Bezier Curves Program permette di trovare la formula di una curva Bézier dati i punti di inizio, fine e controllo.

Estratto da "http://it.wikipedia.org../../../c/u/r/Curva_B%C3%A9zier_8051.html"

Categorie: Curve piane | Computer grafica