Polinomio di Bernstein

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I polinomi di Bernstein o polinomi nella base di Bernstein sono una particolare classe di polinomi (sul campo reale) utilizzati nell'ambito dell'analisi numerica. Il nome si riferisce al matematico Sergei Natanovic Bernstein.

L'algoritmo di valutazione più stabile numericamente è l'algoritmo di de Casteljau.

[modifica] Definizione

Un polinomio di Bernstein $P (x)$ di grado n è dato dalla formula:

$P(x) = \sum_{k=0}^n {c_k B^n_k (x)}$

dove gli $B^n_k(\cdot)$ sono elementi della base dei polinomi di Bernstein, definiti da:

$B^n_i (x) = {n \choose i} x^i (1 - x)^{n - i} \quad \textrm{se } \quad x \in [0,1];$

o, più in generale:

$B^n_i (x) = {n \choose i} {(b-x)^{n-i}(x-a)^i \over (b-a)^n} \quad \textrm{se}\quad x \in [a,b];$

(qui ${n \choose i}$ è il coefficiente binomiale).

[modifica] Proprietà

I polinomi di base di Bernstein formano una combinazione convessa, infatti risulta che:

$\forall i \quad B_i^n(x) \geq 0$
$\sum_{i=0}^n B_i^n(x) = 1$

[modifica] Scala e traslazione

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La modifica per scala e traslazione dell'intervallo di interesse, non influisce sui coefficenti del polinomio.

[modifica] Esempio

Rappresentazione della base di Bernstein per polinomi di grado 2.

Nel caso di un polinomio di grado $2$ la base in $[0,1]$ è composta da:

$B^2_0 (x) = {2 \choose 0 } x^0 (1 - x)^{2 - 0} = (1 - x)^2$
$B^2_1 (x) = {2 \choose 1} x^1 (1 - x)^{2 - 1} = 2 x (1 - x)$
$B^2_2 (x) = {2 \choose 2} x^2 (1 - x)^{2 - 2} = x^2$

Un polinomio espresso in questa base avrebbe quindi la forma:

$P(x) = c_0 B^2_0(x) + c_1 B^2_1(x) + c_2 B^2_2(x)$

[modifica] Applicazioni

I polinomi di Bernstein sono stati usati da questo per dimostrare il teorema di approssimazione di Weierstrass e vengono pure usati per effettuare approssimazioni e interpolazioni di funzioni come ad esempio la curva di Beziér, così come pure per la stima delle funzioni di densità di probabilità

Per n che tende all'infinito, il polinomio converge uniformamente alla funzione f(x), ovvero

$|B_n(x)-f(x)| \le 5/4\ \omega (f, 1/\sqrt n)$