Béziercurve

Een Bézierkromme met graad 3 (vier punten)

Een Béziercurve is in de wiskunde een type parametrische kromme, bepaald door twee of meer punten in een vlak of ruimte, die het eerste punt verbindt met het laatste, vertrekkend in de richting van het tweede punt, steeds de richting aanpassend naar een volgend punt, en aankomend bij het laatste vanuit de richting van het voorafgaande punt. De parametrische voorstelling wordt gegeven door het algoritme van Casteljau. In hogere dimensies bestaan ook Bézier-oppervlakken met overeenkomstige eigenschappen.

[bewerk] Geschiedenis

Pierre Bézier was een Franse ingenieur die deze krommen in de automobielindustrie (Renault) gebruikte. De krommen werden opgesteld door Paul de Casteljau, een ingenieur bij een andere autofabrikant (Citroën).

[bewerk] Definitie

De Béziercurve van graad n, bepaald door de n+1 punten P₀,...,P_n in $\R^3$ , is de parametrische kromme B(t), gegeven door:

$B(t)= \sum_{i=0}^n b_{i,n}(t)P_i \mbox{ , } t \in [0,1]$ ,

waarin b_i,n zgn. Bernsteinpolynomen zijn, gedefinieerd als:

$b_{i,n}(t)= {n \choose i} t^i (1-t)^{n-i} \mbox{ , } i=0,\ldots n.$

[bewerk] Voorbeelden

[bewerk] Lineaire Bézierkromme

De Bézierkromme van graad 1, opgebouwd uit twee punten P₀ en P₁, is niets anders dan de verbindende rechte lijn tussen deze twee punten:

$B(t)=(1-t)P_0 + tP_1 \mbox{ , } t \in [0,1]$ .

[bewerk] Kwadratische Bézierkromme

De Bézierkromme van graad 2, opgebouwd uit de drie punten P₀, P₁ en P₂:

$B(t) = (1 - t)^{2}P_0 + 2t(1 - t)P_1 + t^{2}P_2 \mbox{ , } t \in [0,1]$ .

[bewerk] Derde-graads Bézierkromme

De Bézierkromme van graad 3, opgebouwd uit de vier punten (in een vlak, of in de ruimte) P₀, P₁, P₂ en P₃, is:

$B(t)=(1-t)^3P_0 + 3t(1-t)^2P_1+ 3t^2(1-t)P_2+t^3P_3 \mbox{ , } t \in [0,1]$ .

[bewerk] Toepassingen

Derde-graads Bézierkrommen worden veel gebruikt. Zij verbinden het beginpunt P₀ met het eindpunt P₃ en kunnen door de keuze van de tussengelegen punten P₁ en P₂ zo aangepast worden dat de gewenste begin- en eindrichting verkregen wordt, en de kromme ook nog door een gewenst punt gaat.

Praktisch worden ze gebruikt:

voor afbeeldingen, om gladde krommen te tekenen;
voor lettertypes: TrueType-lettertypes gebruiken eenvoudige kwadratische Bézierkrommes

Categorie: Wiskundige functie

Béziercurve

Inhoud

[bewerk] Geschiedenis

[bewerk] Definitie

[bewerk] Voorbeelden

[bewerk] Lineaire Bézierkromme

[bewerk] Kwadratische Bézierkromme

[bewerk] Derde-graads Bézierkromme

[bewerk] Toepassingen

Views

Navigatie

Informatie

Zoeken

in andere talen