Ympyrä

Wikipedia

Ympyrä

Ympyrä on geometriassa kaikkien niiden tason pisteiden joukko, joiden etäisyys annetusta pisteestä (keskipisteestä) on tietty vakio. Tätä joukkoa kutsutaan ympyrän kehäksi tai piiriksi. Jana, joka kulkee keskipisteestä kehälle, on ympyrän säde. Kehän pisteeltä toiselle kulkevaa janaa kutsutaan jänteeksi. Halkaisija on jänne, joka kulkee keskipisteen kautta. Ympyrän pyörähdyskappale on pallo.

Piirin ja halkaisijan suhde on vakio, joka merkitään kreikkalaisella kirjaimella $\pi\ \,$ , katso myös artikkeli pii-vakiosta.

[muokkaa] Ympyrän kehän pituus ja ympyrän pinta-ala

Ympyrän kehän (piirin) pituus $p\,$ saadaan kaavasta:

$p = 2 \pi{r}\$ missä $r\,$ on ympyrän säde TAI

$p = \pi{d}\$ missä $d\,$ on ympyrän halkaisija

Ympyrän pinta-ala A saadaan kaavasta:

$A = \pi{r^2}\,$ missä r on ympyrän säde

tai vastaavasti

$A = {\pi \over 4}d^2\,$ missä d on ympyrän halkaisija

Niistä kuvioista, joilla on annettu piirin pituus, suurin pinta-ala on ympyrällä.

[muokkaa] Ympyrän yhtälö kaksiuloitteisessa reaaliavaruudessa R²

Olkoon piste (x₀,y₀) ympyrän keskipiste, r ympyrän säde ja piste (x,y) mikä tahansa koordinaatiston piste. Jokaisen ympyrän kehän pisteen etäisyys ympyrän keskipisteestä on ympyrän säde eli r. Kuvitellaan suorakulmainen kolmio, jonka terävinä kulmina on pisteet (x₀,y₀) ja (x,y). Kolmion hypotenuusan pituus eli pisteiden etäisyys on Pythagoraan lauseen mukaan

$\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}$

Koska etäisyyden tulee olla r, saadaan

$r = \sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}$

Korottamalla yhtälö puolittain toiseen saadaan hieman kätevämpi muoto

$r^2=(x-x_0)^2+(y-y_0)^2\,\!$

Josta saadaan poistamlla sulut potensseista ympyrän yhtälön normaalimuoto:

$x^2+y^2+ax+by+c=0\,\!$ , jossa a, b, c ja r ovat reaalilukuja

Jos ympyrän keskipiste on pisteessä (0,0), ts. origossa, on ympyrän yhtälö

$r^2=x^2+y^2\,\!$

joka on parametrimuodossa:

$\left\{\begin{matrix}x = r\cos{t} \\ y = r\sin{t}\end{matrix}\right.$

Napakoordinaattiesitys origokeskeiselle ympyrälle on yksinkertaisesti: r = vakio

Kun ympyrän yhtälö tunnetaan, voidaan sen pinta-ala ja kehän pituus laskea myös integroimalla. Lisäksi voidaan johtaa kaavat pallon tilavuudelle ja pinta-alalle.