Théorème de la progression arithmétique

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En théorie des nombres, le théorème de la progression arithmétique, dû au mathématicien allemand Gustav Lejeune-Dirichlet, s'énonce de la façon suivante :

pour tous entiers naturels non nuls a et b premiers entre eux, il existe une infinité de nombres premiers de la forme a + n b, où n > 0

ce qui est équivalent à l'énoncé suivant :

pour tous entiers naturels non nuls a et b premiers entre eux, il existe une infinité de nombres premiers congrus à a modulo b.

Ce théorème généralise évidemment le théorème d'Euclide d'après lequel il existe une infinité de nombres premiers (en utilisant par exemple les nombres premiers de Gauss qui sont de la forme 3 + 4 n). Il faut par ailleurs noter que le théorème ne prétend pas qu'il y a une infinité de termes consécutifs dans la progression arithmétique a, a+b, a+2b, a+3b, ..., qui soient premiers. Par exemple, dans la démonstration d'Euclide avec les nombres premiers de Gauss, nous obtenons des nombres premiers lorsque n prend les valeurs suivantes : 1, 2, 4, 5, 7, 10, 11, 14, 16, 17, 19, 20, 25, 26, 31, 32, 34, 37, 40, 41, 44, 47, 49, 52, 55, 56, 59, 62, 65, 67, 70, 76, 77, 82, 86, 89, 91, 94, 95, etc.

Euler établit que toute progression arithmétique commençant par 1 contient une infinité de nombres premiers. Le théorème sous sa forme précédente fut conjecturé pour la première fois par Gauss et démontré par Dirichlet en 1835 avec les L-fonctions de Dirichlet. La démonstration s'inspire de travaux antérieurs d'Euler en rapport avec la fonction ζ de Riemann et la distribution des nombres premiers ; elle marque ainsi les débuts rigoureux de la théorie analytique des nombres.

En théorie algébrique des nombres, le théorème de densité de Chebotarev est une généralisation du théorème de Dirichlet.

Remarque : une preuve élémentaire (non analytique) existe quand a = 1

[modifier] Voir aussi

• Théorème de Linnik (1944)