Dirichlet-tétel

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

L. Dirichlet nevezetes tétele azt állítja, hogy minden

$a, a+q, a+2q, a+3q,\dots$

számtani sorozatban végtelen sok prím van, feltéve, hogy a és q>0 relatív prímek.

[szerkesztés] Egyszerű esetek

Számos speciális esetét könnyű bebizonyítani, az például, hogy végtelen sok 4k-1, alakú prím van, onnan adódik, hogy minden 4A-1 alakú számnak van ilyen prímosztója, ezért, ha csak véges sok ilyen lenne, ezek szorzatát A-ba írva ellentmondást kapunk. Hasonlóan kapjuk a 6k-1 alakú prímek esetét is. De tulajdonképpen a Fermat-számok tulajdonságaiból adódik, hogy végtelen sok 8k+1 (illetve 16k+1, 32k+1,...) alakú prím van, hiszen F₂, F₃,... prímosztói mind ilyen alakúak és ezek mind relatív prímek.

Ennél általánosabb és még mindig egyszerűen igazolható, hogy bármilyen q>1-re végtelen sok 1+kq alakú prímszám van. Ehhez elég igazolni Bauer Mihály tételét: ha a egész, akkor Φ_q(a) minden p prímosztója vagy osztja q-t vagy 1+kq alakú (itt Φ_q(x) a q-adik körosztási polinom). Legyen ugyanis a rendje d modulo q (azaz d a legkisebb, amire q osztója a^d-1-nek). Ez létezik, mert p nem oszthatja a-t. Mivel $p | Φ q (a) | a q - 1$ , d osztója q-nak. A kis Fermat-tétel miatt d osztja p-1-et is. Ha d=q, készen vagyunk. Ha d<q, akkor a körosztási polinomok tulajdonságai miatt $Φ q (a)$ , tehát az őt osztó p is osztója a

$\frac{a^q-1}{a^d-1}$

számnak.

Ez viszont így fejthető ki:

$\frac{a^q-1}{a^d-1} = (a^d)^{\frac{q}{d}-1}+\cdots+1$

és itt a tagok mind 1 maradékot adnak p-vel osztva, tehát p osztója q/d-nek tehát q-nak.

[szerkesztés] Bizonyítás

Dirichlet az általa bevezett karakterek és L-sorok segítségével bizonyította. A bizonyítás három lépésből áll: 1. az állítás visszavezetése arra, hogy egyik mod q L-függvénynek sem gyöke az s=1 érték, 2. ennek bizonyítása komplex karakterekre, 3. bizonyítása valós karakterekre. A 3. lépés lényegesen nehezebb, mint a másik kettő.