Système de numération

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Notations	Notions
Additive Positionnelle	Base Chiffre Nombre
Numérations
Additives	Positionnelles
arabe arménienne ionienne copte cyrillique égyptienne éthiopienne gotique grecque hébraïque romaine tchouvache	à bâtons babylonienne chinoise indienne japonaise maya moderne mongole thaï

La numération désigne les techniques de représentation des nombres. Aussi, elle concerne les mots, les signes ou les symboles qui ont permis aux différents peuples d'énoncer, de mimer ou d'écrire ces nombres. Les représentations écrites au moyen de signes constituent des systèmes de numération. Ces derniers sont nés, en même temps que l'écriture, de la nécessité d'organiser les récoltes, le commerce et la datation.

[modifier] Bases de numération

Compter consiste à ajouter successivement des unités, et à les grouper par paquets chaque fois qu'on atteint une certaine valeur. Le nombre d'unités que contient un paquet constitue la base de numération. Le terme base est un mot technique de l'arithmétique et n'a de sens que si la numération considérée est une numération de position. Or ce n'est pas le cas pour la plupart des numérations parlées. c'est donc un grave abus de langage que de parler de base d'une numération parlée (en français par exemple on pourrait dire que la numération depuis Chuquet est de base million). Dans les numérations parlées on trouve par contre des nombres d'appui additif (par exemple dix, en francais dans la série dix-sept, dix-huit, dix-neuf, ou encore vingt dans vingt et un, vingt deux, vingt trois etc), des nombres d'appui multiplicatif (par exemple vingt en français dans les composés comme quatre-vingts et quinze-vingts, ou comme cent dans les composés deux cents, trois cents, quatre cents, etc.). De même, au bout d'un certain nombre de paquets, on groupe ces paquets en paquets plus grands, et ainsi de suite. Généralement, le nombre d'éléments de chaque paquet est identique. Dans le cas contraire, il s'agit soit d'une base irrégulière, soit de bases combinées. De telles combinaisons s'avèrent pratiques pour compter dans des bases élevées, telle la base 60.

De nombreuses bases de numération ont été employées par des peuples et à des époques variés.

Un système binaire (base 2) utilisé par nos ordinateurs.
Un système quinaire (base 5) était utilisé parmi les premières civilisations, et jusqu'au XX^e siècle par des peuples africains, mais aussi, partiellement, dans les systèmes de numération romain et maya.
Un système octal (base 8) aurait été utilisé par la civilisation de la vallée de l'Indus, selon certains historiens.
Le système décimal (base 10) a été utilisé par de nombreuses civilisations, comme les Chinois dès les premiers temps, et, probablement, les Proto-indo-européens. Aujourd'hui, il est de loin le plus répandu.
Le système duodécimal (base 12) est utilisé au Népal par le peuple chepang. On le retrouve, à cause de ses avantages en matière de divisibilité (par 2, 3, 4, 6), pour un certain nombre de monnaies et d'unités de compte courantes en Europe au Moyen Âge, partiellement dans les pays anglo-saxons dans le système d'unité impérial, et dans le commerce. Il sert aussi pour compter en mois.
Un système hexadécimal (base 16) utilisé en électronique et informatique car la conversion binaire hexa est très simple.
Un système vicésimal (ou vigésimal, base 20) existe au Bhoutan en langue dzongkha, et était en usage chez les Aztèques et, quoiqu'irrégulier, pour la numération maya. Certains pensent qu'il a aussi été utilisé par les Gaulois ou par les Basques dans les premiers temps, mais on ignore en réalité si ceux-ci comptaient en base 10 ou en base 20.
Le système sexagésimal (base 60) était utilisé pour la numération babylonienne, ainsi que par les Indiens et les Arabes en trigonométrie. Il sert actuellement dans la mesure du temps et des angles.

Certaines bases de numération sont utilisées dans des domaines scientifiques, notamment en électronique numérique et en informatique ; consulter l'article Base (numération) pour plus de détails. On peut aussi ajouter le système de numération D'ni (fictionnel) de la saga Myst, où la civilisation D'ni utilise la base 25.

[modifier] Énonciation des nombres

Certains nombres bénéficient exclusivement d'un nom simple, comme mille en français. Dans le cas contraire, plusieurs principes permettent de les composer.

L'addition : dix-sept en français (10+7) ;
la multiplication : deux cents en français (2×100) ;
la soustraction : dix-huit se dit duodeviginti en latin classique (deux-de-vingt, 20-2) ;
la division : une manière de dire cinquante est hanter-kant en breton (demi-cent, 100/2) ;il n'est pas sûr que les composés de ce type doivent être analysés comme renvoyant à des divisions, car, mathématiquement, on peut les voir comme c'est manifestement le cas dans cet exemple, comme des multiplications par des fractions de l'unité c'est-à-dire du point de vue linguistique ou grammatical comme des déterminations (comparer demi-cent à ce-cent, mon-cent, le-cent etc) qui dans ce contexte numérique peuvent être dites des déterminations à valeur mutiplicative .
la protraction (terme introduit par Claude Hagège) : trente-cinq se disait holhu ca kal en yucatèque (cinq-dix deux vingts, 15 2×20, soit 15 vers 2×20 ou 15 à partir de la vingtaine précédant 2×20, soit 15+20). Dans l'expression de 35 (comme dans celle de trente) il convient de restituer un relateur sous-entendu (ou effacé) qui était tu (en réalité ti+u avec ti = locatif 'vers' et u = indice personnel de 3ème personne 'son' qui, dans ce contexte, servait à dériver l'ordinal depuis le cardinal; si bien que l'expression de 35 doit s'analyser comme étant "15 vers la 2ème vingtaine". Pour plus de détails voir CAUTY, A., 2002, ‘Des spécificités des numérations mayas précolombiennes’, Mémoire de la Société de Linguistique de Paris, Nouvelle Série, tome XII, Leuven (Belgique), Peters, p.121-147; ou aussi CAUTY, A., 2002, ‘Le type protractif des numérations de l’aire maya’, Faits de Langues, n° 20 : Méso-Amérique, Caraïbes, Amazonie, Vol. 1, Paris, Ophrys, p. 85-93.

Une base auxiliaire est parfois utilisée. Par rapport à la base principale, celle-ci peut-être

inférieure : la numération wolof est décimale mais utilise un système quinaire auxiliaire, vingt six se dit ñaar fukk ak juroom benn en wolof (deux dix et cinq un, 2×10+5+1) ;
supérieure : la numération basque est décimale mais utilise un système vigésimal auxiliaire, cent cinquante-deux se dit en ehunta berrogeita hamabi en basque (cent-et deux-vingts-et dix-deux, 100+2×20+10+2).

Enfin, certains nombres bénéficient d'une construction indépendante de la base employée. Ainsi, une manière de dire, respectivement, dix-huit, quarante-cinq et quarante-neuf, en breton, est triwec'h (trois-six, 3×6), pemp nav (cinq neuf, 5×9) et seizh seizh (sept sept, 7×7). Il va de soi que cette dernière forme ne provient pas d'une base sept, mais de la valeur symbolique de ce nombre. (Les dernières formes citées ont tendance à disparaitre.)

[modifier] Techniques de numération

Les peuples se servent traditionnellement des parties de leur corps pour compter. Pour un compte décimal ou quinaire, les doigts sont généralement mis à contribution. Le peuple chepang, qui emploie un système duocécimal, se sert du pouce pour compter sur les phalanges des doigts. Bien d'autres procédés encore ont été employés.

[modifier] Systèmes de notation

On distingue schématiquement deux familles de systèmes de notation.

Les systèmes additifs utilisent des symboles pour représenter certains nombres, les autres nombres s'obtenant par juxtaposition de ces symboles. Le lecteur a alors la charge d'additionner les valeurs de chaque symbole pour retrouver la valeur du nombre. C'est le cas des systèmes de numération grec, égyptien, gotique, ou plus simplement du système unaire. C'est aussi le cas avec une variante soustractive pour le système de numération romain.
Les systèmes positionnels utilisent un symbole pour chaque unité, la place de ces symboles dans l'écriture du nombre indiquant le poids qui leur est affecté (poids 1, poids n, poids n², ... pour une base n). C'est le cas des systèmes de numération chinois, maya et babylonien, ainsi que les systèmes de numération indien et arabe, qui sont à l'origine des mathématiques modernes, celles-ci permettant désormais d'écrire les nombres simplement quelle qu'en soit la base, à l'aide du zéro positionnel.