Бройна система

от Уикипедия, свободната енциклопедия

Бройната система е метод за представяне на произволно число посредством ограничен набор от символи наречени цифри. Съществуват два вида бройни системи

Съдържание

1 Непозиционна бройна система
2 Позиционна бройна система
3 Преобразуване
- 3.1 от Двоична в Десетична
- 3.2 от Двоична в Шестнадесетична

[редактиране] Непозиционна бройна система

Непозиционната бройна система е тази, при която стойността на цифрата не зависи от нейното място в поредицата. Такива бройни системи са Римската и Гръцката.

[редактиране] Позиционна бройна система

Позиционна бройна система е тази, при която стойността на цифрата се определя от нейното място в поредицата. Броят на различните цифри в една позиционна система се нарича основа на тази бройна система Q. Тези цифри са символи, обозначаващи целите числа от 0 до Q-1(основата на бройната система - 1). В десетичната бройна система Q=10 и цифрите, които се използват, са от 0 до 9. В позиционните бройни системи стойноста на всеки разряд е по-голяма от съседния му в дясно толкова пъти, колкото е основата на бройната система (в десетичната бройна система 10 пъти).

В общия случай за числата в бройна система с основа Q:

$(a_na_{n-1}...a_1a_0,c_1c_2c_3...)_Q = \sum_{k=0}^n a_kQ^k + \sum_{k=1}^\infty c_kQ^{-k}$

където Q^k и Q^−k са теглата на съответните цифри, a k — тяхната позиция в записа на числото.

Таблица на използваните най-често позиционни бройните системи

Десетична	Двоична	Осмична	Шестнадесетична
0	0000	0	0
1	0001	1	1
2	0010	2	2
3	0011	3	3
4	0100	4	4
5	0101	5	5
6	0110	6	6
7	0111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	A
11	1011	13	B
12	1100	14	C
13	1101	15	D
14	1110	16	E
15	1111	17	F

[редактиране] Преобразуване

Всяко число може да се преобразува от една бройна система в друга.

[редактиране] от Двоична в Десетична

Пример : Имаме числото 101011 в двоична бройна система за да го превърнем в десетична бройна система трябва да сумираме теглата съдържащи логическа единица. Всяка цифра от двоичното число е умножено по две на степен отговаряща на мястото на цифрата - 1

$101011 = 1 * 2 5 + 0 * 2 4 + 1 * 2 3 + 0 * 2 2 + 1 * 2 1 + 1 * 2 0 = 43$

за да превърнем число от десетична в двоична бройна система ние трябва да го разеляме на 2 докато не получим остатък 0 или 1. Ако числото не може да се дели на 2 изваждаме 1 единица и я пишем след резултата, а ако може пишем 0 Пример : 87₍₁₀₎ от десетична в двоична

87:2=43 | 1
43:2=21 | 1
21:2=10 | 1
10:2=5 | 0
5:2=2 | 1
2:2=1 | 0
1:2=0 | 1
след това за да получим двоичното число вземаме единиците и нулите както сме ги получили но от долу на горе т.е. получаваме 1010111₍₂₎ в двоична бройна система за числото 87₍₁₀₎ в десетична

За да получим двоичнен еквивалент на десетична дроб се извършва последователно умножаване по основата на бройната система ( в случая 2 ) до достигане на желаната точност. При всяко умножаване цялата част се явява съответен разряд от двоичния еквивалент. Никога обаче не може да се получи точна десетична дроб тъй като винаги има остатък. За това е прието умножението да става 5-10 пъти за да се получи сравнително точно число с малка грешка.

Пример : 0,386₍₁₀₎

0,386*2=0,772
0,772*2=1,544 ( от тук вадим единица )
0,544*2=1,088
0,088*2=0,176
0,176*2=0,352
За да получим числото вземаме цялата част от всеки отговор от горе на долу и получаваме 0,01100₍₂₎ в двоично бройна система за числото 0,386 в десетична