Syllogisme

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En logique aristotélicienne, le syllogisme est un raisonnement logique à deux propositions (également appelées prémisses) conduisant à une conclusion qu'Aristote a été le premier à formaliser. Par exemple, Tous les hommes sont mortels, or les Grecs sont des hommes, donc les Grecs sont mortels est un syllogisme ; les deux prémisses (dites « majeure» et « mineure ») sont des propositions données et supposées vraies permettant de vérifier la véracité formelle de la conclusion. La science des syllogismes est la syllogistique, à laquelle, entre autres, se sont intéressés les penseurs de la scolastique médiévale, Gottfried Leibniz et Emmanuel Kant.

Sommaire 1 Introduction 1.1 Paradoxe 1 1.2 Paradoxe 2 1.3 Cas de prémisses sans rapport avec le réel 2 Les propositions 2.1 Sujet et prédicat des propositions 2.2 Rapport entre le sujet et le prédicat 2.3 Les classes de propositions 3 Les modes 3.1 La position du moyen terme : notion de figure 4 Les modes concluants 4.1 De la première figure (« modes parfaits ») 4.2 De la deuxième figure 4.3 De la troisième figure 4.4 De la quatrième figure, dite « galénique » 5 Validation des modes concluants 5.1 L'extension des termes de la conclusion ne peut être plus importante que dans les prémisses 5.2 Le moyen terme doit être universel au moins une fois dans les prémisses 5.3 On ne peut tirer de conclusion à partir de deux prémisses particulières 5.4 On ne peut tirer de conclusion à partir de deux prémisses négatives 5.5 Deux prémisses affirmatives ne peuvent donner une conclusion négative 5.6 La conclusion doit être aussi faible que la prémisse la plus faible 6 Articles connexes

[modifier] Introduction

Le syllogisme permet de mettre en rapport dans une conclusion deux termes, le majeur et le mineur, au moyen d'un moyen terme. Le majeur et le mineur ne doivent apparaître qu'une fois chacun dans les prémisses, le moyen terme est présent dans chaque prémisse (puisqu'il permet la mise en rapport des deux autres termes) tandis que la conclusion expose le rapport entre le majeur et le mineur, de sorte que le syllogisme est un « rapport de rapports » (expression de Renouvier, Traité) :

	Termes
Prémisse majeure	moyen		majeur
	Tous les hommes	sont	mortels
	or...
Prémisse mineure	mineur		moyen
	Tous les Grecs	sont	des hommes
	donc...
Conclusion	mineur		majeur
	Tous les Grecs	sont	mortels

[modifier] Paradoxe 1

L'application sans discernement de la règle qui précède peut conduire à quelques étrangetés :

	Termes
Prémisse majeure	moyen		majeur
	Toutes les choses rares	sont	chères
	or...
Prémisse mineure	mineur		moyen
	Le gigot bon marché	est	rare
	donc...
Conclusion	mineur		majeur
	Le gigot bon marché	est	cher

Cette conclusion peut troubler et incitera à manier le syllogisme avec précautions (voir paradoxe). Ici, il mène à une aberration. Le paradoxe du gruyère en est un autre exemple.

[modifier] Paradoxe 2

Comment puis-je affirmer que tous les Grecs sont mortels ? Stricto sensu, je ne peux en être certain que si j'ai bien vu mourir tous les Grecs, y compris Socrate. On concevra donc que dans la pratique un syllogisme déductif est rarement applicable sans une part plus ou moins escamotée d'induction. On a pu jadis croire qu'un syllogisme expliquait quelque chose sur le monde réel à une époque où l'on croyait aux essences, c'est-à-dire où on pensait que le mot définissait la chose, et non l'inverse (voir Logique inductive, Réalisme vs. Nominalisme).

[modifier] Cas de prémisses sans rapport avec le réel

Avant de chercher à comprendre le fonctionnement des syllogismes, il faut prendre garde à un point des plus importants : dire d'un syllogisme qu'il est concluant c'est affirmer que sa forme est valide. Sa vérité matérielle, cependant, n'importe pas. Ainsi, le syllogisme

Toutes les créatures à dents sont kleptomanes,

Or les poules ont des dents,

Donc les poules sont kleptomanes

est parfaitement valide. Il n'a, en revanche, aucune valeur de vérité matérielle.

[modifier] Les propositions

[modifier] Sujet et prédicat des propositions

Les syllogismes sont constitués de propositions, ou affirmations faites d'un sujet (désigné par S) relié par une copule à un prédicat (désigné par P), de type

S {sujet} est {copule} P {prédicat}.

Ces propositions doivent être construites dans un ordre précis : le sujet de la conclusion, en effet, doit être présent dans une des prémisses (normalement la mineure), son prédicat dans l'autre (la plupart du temps la majeure), pour que le syllogisme soit valide. Le moyen terme (M) établit le rapport : * {M est P} or {S est M} donc {S est P}.
Note : l'ordre dans lequel apparaissent les prémisses n'importe pas. L'usage est de citer en premier celle qui contient la majeure, c'est-à-dire le prédicat de la conclusion.

Il est donc exclu que le moyen terme apparaisse dans la conclusion ou que l'une des prémisses mette en relation les deux termes extrêmes (termes mineur et majeur).

[modifier] Rapport entre le sujet et le prédicat

En fait, la copule est introduit un rapport entre les deux concepts S et P. Ce rapport doit être appréhendé sous l'angle de la compréhension (désigne en logique l'ensemble des qualités et des caractéristiques propres à un ensemble, ou classe, d'objets) et de l'extension (l'ensemble des objets qui possèdent ces qualités et propriétés en commun). S est P doit se donc comprendre à la fois comme :

• compréhension : « l'ensemble S possède l'attribut de P » ;
• extension : « l'ensemble S fait partie de l'ensemble P ».

Ainsi, tous les hommes sont mortels se comprend doublement :

• compréhension : « l'ensemble des hommes possède les caractéristiques de l'ensemble des mortels » ;
• extension : « l'ensemble des hommes fait partie de l'ensemble des mortels ».

L'on voit donc, outre la répartition des termes au sein des prémisses, une seconde contrainte se dessiner : une proposition doit être constituée de propositions dans lesquelles le prédicat est un sur-ensemble du sujet. Un syllogisme peut donc se résumer ainsi :

[(M ⊂ P) ∧ (S ⊂ M)] ⊃ (S ⊂ P).

Or, une table de vérité permet de vérifier que cette expression est une tautologie (au sens logique) :

M	P	S	1	2	1	3	1	2	1	4	1	3	1
			[(M	⊂	P)	∧	(S	⊂	M)]	⊃	(S	⊂	P)
1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
1	1	0	1	1	1	0	0	0	1	1	0	0	1
1	0	1	1	1	0	1	1	1	1	1	1	1	0
1	0	0	1	1	0	0	0	0	1	1	0	1	0
0	1	1	0	0	1	0	1	1	0	1	1	1	1
0	1	0	0	0	1	0	0	1	0	1	0	0	1
0	0	1	0	1	0	1	1	1	0	1	1	1	0
0	0	0	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0

Cette table de vérité doit être lue ainsi : « la conjonction de « M est impliqué par P » et de « S est impliqué par M » implique bien que S est impliqué par P ». En effet, l'implication (portant le numéro 4 dans le tableau) est vraie quelles que soient les valeurs de M, P et S.

[modifier] Les classes de propositions

Le tableau vu plus haut permet de comprendre pourquoi, pour peu qu'il soit correctement construit, un syllogisme est valide formellement. Il ne permet cependant de considérer que les syllogismes dont toutes les propositions seraient affirmatives et universelles. Ce ne sont pas les seules possibilités.

Il existe en effet quatre classes de propositions, distinguées par leur qualité et leur quantité :

• qualité : propositions affirmatives ou négatives ;
• quantité : propositions universelles (le sujet concerne toute l'extension) ou particulières (une partie de l'extension).

Ces quatre classes sont désignées traditionnellement par des lettres mnémotechniques telles qu'utilisées par la scolastique médiévale :

• A = affirmative universelle : « tous les hommes sont mortels » ;
• E = négation universelle : « aucun homme n'est immortel » ;
• I = affirmation particulière : « quelques hommes sont peintres » ;
• O = négation particulière : « quelques hommes ne sont pas peintres ».

Pour retenir ces lettres : affirmo (latin « j'affirme »), nego (« je nie »).

Deux propositions disposant des mêmes sujet et prédicat peuvent s'opposer par leur qualité et/ou par leur quantité. Ainsi les oppositions qui peuvent être créées sont les suivantes :

• Deux propositions contradictoires sont des propositions qui s'opposent par la qualité et la quantité 
• Deux propositions contraires sont des propositions universelles qui s'opposent par la qualité 
• Deux propositions subcontraires sont des propositions particulières qui s'opposent par la qualité 
• Deux propositions subalternes sont des propositions qui s'opposent par la quantité.

On établit ainsi le carré logique de l'opposition des propositions.

Or, un syllogisme doit considérer la classe de ses propositions et l'ordre dans lequel elles apparaissent pour rester valide : le schéma [(M ⊂ P) ∧ (S ⊂ M)] ⊃ (S ⊂ P) ne suffit pas, ne serait-ce parce que l'on a parfois à faire à des exclusions d'ensembles, et non de seules inclusions.

[modifier] Les modes

[modifier] La position du moyen terme : notion de figure

On l'a dit, l'ordre dans lequel apparaissent les prémisses n'est pas pertinent. Ce qui l'est, en revanche, c'est la répartition du sujet et du prédicat de la conclusion au sein des prémisses, indiquée par celle du moyen terme.

La forme canonique d'un syllogisme est [(M ⊂ P) ∧ (S ⊂ M)] ⊃ (S ⊂ P). Dans ce cas, le moyen terme est sujet de la majeure et prédicat de la mineure. Cela dessine ce que l'on nomme la première figure, dans laquelle le terme majeur est prédicat de la prémisse mineure et le terme mineur sujet de la prémisse majeure. Trois autres figures sont cependant possibles :

• 1^re figure : [(M ⊂ P) ∧ (S ⊂ M)] ;
• 2^e figure : [(P ⊂ M) ∧ (S ⊂ M)] ;
• 3^e figure : [(M ⊂ P) ∧ (M ⊂ S)] ;
• 4^e figure : [(P ⊂ M) ∧ (M ⊂ S)]. Cette quatrième figure n'a pas été analysée par Aristote (considérant qu'elle revient à la première figure dont les prémisses seraient inversées) mais par Galien au II^e siècle de l'ère chrétienne. On la nomme aussi figure galénique.

Ces figures ont une importance dans la recherche des modes concluants car elles déterminent, outre la place du prédicat, celle des termes majeurs et mineurs ; or, selon qu'un terme est sujet ou prédicat, et selon la qualité de la proposition (affirmative ou négative), l'extension de ce terme varie. Si l'on se souvient que le syllogisme fonctionne sur l'inclusion de classes au sein d'autres classes, l'on comprend que l'extension des termes soit fondamentale : dire que tous les hommes sont mortels, or les Grecs sont des hommes donc les Grecs sont mortels nécessite que les ensembles hommes, mortels et Grecs soient pris dans la même extension d'un bout à l'autre du syllogisme ou au moins dans une extension moindre dans la conclusion. Si, par exemple, Grecs correspondait dans les prémisses à seulement les Grecs de Béotie et dans la conclusion à tous les Grecs, le syllogisme n'aurait aucun sens : la classe tous les Grecs n'est pas incluse dans la classe Grecs de Béotie. Sachant que l'extension des termes change selon la qualité de la proposition et leur place en son sein, il convient, si l'on veut respecter leur identité d'un bout à l'autre du syllogisme, de connaître les règles suivantes :

• à proposition affirmative, prédicat particulier ;
• à proposition négative, prédicat universel ;
• à proposition universelle, sujet universel ;
• à proposition particulière, sujet particulier.

En effet, dans :

• tous les Grecs sont mortels, la classe Grecs est incluse dans celle des mortels ; l'on ne peut cependant pas dire que la classe mortels soit limitée à celle de Grecs (tous les Grecs sont mortels ≠ tous les mortels sont Grecs). L'on considère donc une partie de l'extension de mortels ;
• aucun Grec n'est immortel, la classe immortel est saisie dans son entier : l'intégralité de la classe immortel n'a aucun point commun avec celle de Grecs. L'on peut donc dire qu'aucun Grec n'est immortel équivaut à aucun immortel n'est un Grec ;
• quant aux sujets, ils sont quantifiés directement selon la quantité de la proposition où ils apparaissent : dans tout homme est mortel, la classe homme est prise en intégralité, dans quelques hommes portent une barbe de manière particulière.

L'on peut aussi résumer les questions d'extension en considérant les classes de propositions :

Classe de proposition	Sujet de la proposition	Prédicat de la proposition
A (universelle affirmative)	universel	particulier
E (universelle négative)	universel	universel
I (particulière affirmative)	particulier	particulier
O (particulière négative)	particulier	universel

L'extension des sujets et des prédicats, on le verra plus bas, joue dans la détermination des modes concluants.

[modifier] Les modes concluants

Sachant qu'il existe quatre classes de propositions (A, E, I et O), qu'un syllogisme se compose de trois propositions et que le moyen terme dessine quatre figures, il existe donc 4³ × 4 = 256 modes. De ces deux cent cinquante-six, seuls dix-neuf sont valides, ou concluants.

En effet, plusieurs règles (que l'on déduit d'autres règles logiques concernant l'extension des termes ; voir plus bas) sont à considérer :

• l'extension des termes de la conclusion ne peut être plus importante que dans les prémisses ;
• le moyen terme doit être universel au moins une fois dans les prémisses ;
• on ne peut tirer de conclusion à partir de deux prémisses particulières ;
• on ne peut tirer de conclusion à partir de deux prémisses négatives ;
• deux prémisses affirmatives ne peuvent donner une conclusion négative ;
• la conclusion doit être aussi faible que la prémisse la plus faible.

De sorte, il est possible de recenser les modes concluants. Ceux-ci sont depuis le Moyen Âge désignés par des noms sans signification dont les voyelles indiquent les classes des propositions. Ainsi, le syllogisme Barbara doit se comprendre comme étant composé de deux prémisses et d'une conclusion affirmatives et universelles (A).

Note : les noms de ces modes peuvent varier ; les logiciens de Port-Royal les disent « Barbari », « Calentes », « Dibatis », « Fespamo » et « Fresisom ».

[modifier] De la première figure (« modes parfaits »)

Schéma : [(M ⊂ P) ∧ (S ⊂ M)] ⊃ (S ⊂ P) ; ces modes sont dits « parfaits » parce qu'ils ont servi à Aristote à démontrer le caractère concluant des modes des autres figures (ou « modes imparfaits »). En effet, tout syllogisme peut se ramener à l'un des quatre modes parfaits. Chacun de ces modes donne une conclusion d'une des classes :

• Barbara : tout M est P, or tout S est M, donc tout S est P ;
• Celarent : aucun M n'est P, or tout S est M, donc aucun S n'est P ;
• Darii : tout M est P, or quelque S est M, donc quelque S est P ;
• Ferio : aucun M n'est P, or quelque S est M, donc quelque S n'est pas P.

Voir aussi : Exemples de syllogismes de la première figure

[modifier] De la deuxième figure

Schéma : [(P ⊂ M) ∧ (S ⊂ M)] ⊃ (S ⊂ P) ; tous ces modes ont une conclusion négative :

• Baroco : tout P est M, or quelque S n'est pas M, donc quelque S n'est pas P ;
• Camestres : tout P est M, or aucun S n'est M, donc aucun S n'est P ;
• Cesare : aucun P n'est M, or tout S est M, donc aucun S n'est P ;
• Festino : aucun P n'est M, or quelque S est M, donc quelque S n'est pas P.

Voir aussi : Exemples de syllogismes de la deuxième figure

[modifier] De la troisième figure

Schéma : [(M ⊂ P) ∧ (M ⊂ S)] ⊃ (S ⊂ P) ; chacun des modes de cette figure implique une conclusion particulière :

• Bocardo : quelque M n'est pas P, or tout M est S, donc quelque S n'est pas P ;
• Darapti : tout M est P, or tout M est S, donc quelque S est P ;
• Datisi : tout M est P, or quelque M est S, donc quelque S est P ;
• Disamis : quelque M est P, or tout M est S, donc quelque S est P ;
• Felapton : aucun M n'est P, or tout M est S, donc quelque S n'est pas P ;
• Ferison : aucun M n'est P, or quelque M est S, donc quelque S n'est pas P.

Voir aussi : Exemples de syllogismes de la troisième figure

[modifier] De la quatrième figure, dite « galénique »

Schéma : [(P ⊂ M) ∧ (M ⊂ S)] ⊃ (S ⊂ P) ; la conclusion des modes de cette figure ne peut pas être universelle affirmative. Les modes galéniques n'ont pas été reconnus concluants par Aristote.

• Bamalip : tout P est M, or tout M est S, donc quelque S est P ;
• Camenes : tout P est M, or aucun M n'est S, donc aucun S n'est P ;
• Dimaris : quelque P est M, or tout M est S, donc quelque S est P ;
• Fesapo : aucun P n'est M, or tout M est S, donc quelque S n'est pas P ;
• Fresison : aucun P n'est M, or quelque M est S, donc quelque S n'est pas P.

Voir aussi : Exemples de syllogismes de la quatrième figure

[modifier] Validation des modes concluants

On a indiqué plus haut des règles communes à toutes les figures permettant de repérer les modes concluants sans en expliquer les raisons profondes, si ce n'est évoquer l'importance de l'extension des termes. Ainsi, comment expliquer qu'un Bamalip galénique (tout P est M, or tout M est S, donc quelque S est P) est concluant mais pas un éventuel « Bamalap » galénique (tout P est M, or tout M est S, donc tout S est P) ?

Il faut, pour ce faire, étudier par le menu les règles de formation des syllogismes.

[modifier] L'extension des termes de la conclusion ne peut être plus importante que dans les prémisses

L'extension des termes de la conclusion (ses sujet et prédicat) ne peut dépasser celle qu'ils ont dans les prémisses. Puisque la conclusion découle des prémisses, il faut que les ensembles qui y sont désignés soient ou les mêmes ou des plus petits pour que le jeu d'inclusion de classes au sein d'autres classes fonctionne. Cela explique pourquoi le mode Bamalip (tout P est M, or tout M est S, donc quelque S est P) de la quatrième figure ne peut avoir de conclusion universelle : dans cette figure, le terme mineur (sujet de la conclusion) est toujours prédicat, or, dans ce mode, il est pris en particulier puisque la proposition est affirmative. Il doit donc être particulier dans la conclusion.

[modifier] Le moyen terme doit être universel au moins une fois dans les prémisses

Le moyen terme assurant le rapport entre les termes de la conclusion, celui-ci doit au moins une fois être utilisé sous son extension universelle. En effet, ce rapport ne fonctionne que si le moyen terme possède une identité claire. Or, si le moyen terme n'était considéré deux fois qu'en partie, rien ne permettrait d'affirmer que ces deux parties sont identiques ou que l'une est incluse dans l'autre. Ceci explique pourquoi les syllogismes de la deuxième figure, dans lesquels le moyen terme est toujours prédicat, donc pris particulièrement, ne peuvent suivre un schéma AAA : rien n'indique que dans les deux prémisses ce moyen terme serait le même : les cerises sont sphériques, or les yeux sont sphériques, donc les yeux sont des cerises. Dans les prémisses, les deux classes des objets sphériques évoqués ne se recoupent pas : le rapport entre le terme mineur et le majeur ne peut être assuré en l'absence d'un moyen terme non ambigu.

[modifier] On ne peut tirer de conclusion à partir de deux prémisses particulières

Ce cas de figure est impossible. En effet, dans le cas où les deux prémisses seraient affirmatives particulières, tous les termes seraient particuliers (voir tableau plus haut), dont le moyen. Or, le moyen terme doit obligatoirement être pris au moins une fois universellement (voir plus haut). Dans le cas où l'une des deux prémisses serait négative particulière (deux négatives étant impossibles ; voir plus bas), la conclusion devrait être négative et le syllogisme devrait contenir deux termes universels. Le prédicat de la négative serait universel, et seule une prémisse universelle permettrait d'obtenir un sujet universel.

[modifier] On ne peut tirer de conclusion à partir de deux prémisses négatives

Le sujet et le prédicat de la conclusion étant mis en rapport par le moyen terme, si ce rapport est nié deux fois, on ne peut naturellement établir de lien. Ainsi, il ne peut exister de syllogisme EEE ou OOO (ou un mélange quelconque de ces deux classes), qui ressemblerait à cela : aucun animal n'est immortel, or aucun dieu n'est un animal, donc aucun dieu n'est immortel.

[modifier] Deux prémisses affirmatives ne peuvent donner une conclusion négative

Deux prémisses affirmatives unissent les termes de la conclusion par le moyen terme. On ne peut donc obtenir une conclusion négative, c'est-à-dire une absence de lien entre les termes. Cela exclut tous les modes AAE, AAO, IIE et IIO.

[modifier] La conclusion doit être aussi faible que la prémisse la plus faible

On entend par « faible » une hiérarchie au sein des qualités et des quantités :

• la particulière est plus faible que l'universelle ;
• la négative que l'affirmative.

Lorsque une des prémisses est négative (le cas où deux prémisses seraient négative n'étant pas possible ; voir plus haut), le rapport établi par le moyen terme entre le terme majeur et le mineur est double : l'une des classes est incluse ou identique à celle du moyen terme, l'autre est exclue du moyen terme. Il ne peut donc y avoir d'union entre le majeur et le mineur.

De même, à supposer qu'une conclusion soit universelle affirmative, ses prémisses devront aussi être affirmatives et contenir chacune un terme universel, l'extension des termes de la conclusion ne pouvant dépasser celle des termes des prémisses. Si la conclusion est universelle négative, il faut que les prémisses contiennent trois termes universels, soient une négative (prédicat universel), et deux sujets universels.

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Ces règles permettent d'expliquer le caractère concluant de tous les modes syllogistiques en excluant ceux qui ne seraient pas convaincant du fait de l'extension des termes. L'utilisation de syllogismes non concluants se rencontre cependant souvent dans le cadre de l'argumentation ; on parle dans ce cas de sophisme, la plupart du temps par généralisation, ou sophisme secundum quid.

[modifier] Articles connexes

• Logique | induction logique | déduction logique
• rhétorique ;
• sophisme.
• Catégories (Aristote)
• De l'interprétation
• enthymème
• Vérité formelle
• Vérité matérielle

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