Suite de Cauchy

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

Vous avez de nouveaux messages (diff^?).

En analyse mathématique, une suite de Cauchy est une suite dont les termes se rapprochent à partir d'un certain rang. Les suites de Cauchy portent le nom du mathématicien français Augustin Louis Cauchy.

[modifier] Définition

Une suite $(x_n)_{n\in\mathbb N}$ dans un espace métrique $(E, d)$ est dite suite de Cauchy (ou de Cauchy) si pour tout réel $\varepsilon>0$ , il existe un entier naturel $N$ tel que pour tous entiers $p,q\geq N$ , la distance $d (x p, x q)$ soit inférieure à $\varepsilon$ . Intuitivement, les termes de la suite deviennent de plus en plus proches les uns des autres d'une certaine façon qui suggère que la suite doit avoir une limite dans l'espace. Néanmoins, si toute suite convergente est automatiquement de Cauchy, la réciproque n'est pas vraie en toute généralité.

C'est la raison pour laquelle un espace métrique dans lequel toute suite de Cauchy converge est dit complet. L'ensemble des nombres réels est complet, et la construction standard de l'ensemble des nombres réels utilise les suites de Cauchy de nombres rationnels (avec cependant un petit souci concernant $\varepsilon$ , puisqu'on a vu que les réels étaient utilisés pour définir la notion de suite de Cauchy; voir la construction des nombres réels à ce sujet). La page sur les espaces complets donne plus d'exemples.

[modifier] Propriétés

On l'a déjà dit : toute suite convergente est une suite de Cauchy. Les suites de Cauchy ont donc quelques points communs avec celles-ci :

toute suite de Cauchy est bornée ;
une suite de Cauchy a au plus une valeur d'adhérence (il suffit donc de montrer qu'une suite de Cauchy a une valeur d'adhérence pour établir sa convergence !) ;
l'image d'une suite de Cauchy par une application uniformément continue est de Cauchy.
dans les espaces vectoriels normés, les suites de Cauchy forment un sous-espace de l'espace des suites;
dans une algèbre normée, un produit de suites de Cauchy est de Cauchy.

[modifier] Généralisation

Une famille (x_α) dans un espace uniforme X est une famille de Cauchy si pour tout voisinage V il existe un nombre α₀ tel que pour tous α, β > α₀, le couple (x_α, x_β) soit dans V².