Ciąg Cauchy'ego
Z Wikipedii
Ciąg Cauchy'ego to ciąg x(n) elementów przestrzeni metrycznej X spełniający następujący warunek Cauchy'ego:
- dla dowolnej dodatniej liczby rzeczywistej ε istnieje liczba naturalna
taka, że dla dowolnych liczb naturalnych
, d(x(n),x(m)) < ε
gdzie przez d oznaczamy metrykę w przestrzeni X.
Intuicyjnie, ciąg Cauchy'ego to ciąg, którego wyrazy są sobie coraz bliższe (czyli ich odległość maleje do zera). Własność tę mają na przykład wszystkie ciągi zbieżne do jakiejś granicy. Przestrzenie, w których zachodzi także odwrotne wynikanie – to znaczy w których każdy ciąg Cauchy'ego ma granicę – nazywamy zupełnymi. Taką przestrzenią jest na przykład zbiór liczb rzeczywistych z metryką euklidesową. Nie jest nią za to przedział otwarty (0,1) z metryką euklidesową, ponieważ każdy ciąg zbieżny do 1 w zbiorze liczb rzeczywistych jest w tej przestrzeni ciągiem Cauchy'ego, lecz nie ma granicy w przedziale (0,1).
