Pseudo-démonstration d'égalité entre nombres

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Le terme Pseudo-démonstration d'égalité renvoie à l'apparente exactitude de démonstrations d'égalités qui à l'évidence sont fausses. Étant donné que toute proposition fausse est équivalente à une autre proposition fausse, n'importe quel résultat faux est équivalent à $x \ne y \Rightarrow x = y$ (un exemple célèbre est celui de Bertrand Russell avec l'égalité 2+2=5).

Nous nous contenterons ici de regarder le cas d'égalités entre nombres, et nous détaillerons différents vices parmi les plus répandus qui conduisent à ces erreurs. Les méthodes proposées dans cet article se veulent en outre les méthodes les plus courantes, les plus instructives, et dans la mesure du possible, les plus directes.

Sommaire

1 Pseudo-démonstration via des identités remarquables et division par zéro
- 1.1 Principe
- 1.2 Exemple
2 Pseudo-démonstration via des équations et confusion condition nécessaire et suffisante
- 2.1 Principe
- 2.2 Exemple
3 Pseudo-démonstration via des racines carrées non définies
- 3.1 Principe
- 3.2 Exemples
4 Pseudo-démonstration via une sommation floue
- 4.1 Principe
- 4.2 Variantes
5 Pseudo-démonstration via un changement de variable non licite lors d'une intégration
- 5.1 Principe
- 5.2 Exemple
6 Voir aussi

[modifier] Pseudo-démonstration via des identités remarquables et division par zéro

[modifier] Principe

Cette pseudo-démonstration s'appuie sur l'erreur suivante : $0 \cdot a = 0 \cdot b \Rightarrow a = b$

Elle s'effectue généralement en deux étapes :

former via une identité remarquable un produit dans les deux membres d'une égalité dont l'un des facteurs est nul ;
via une division par zéro obtenir un résultat absurde.

À noter que suivant l'identité remarquable utilisée et la manière dont on s'y prend, on peut obtenir n'importe quelle égalité fausse.

[modifier] Exemple

Exemple

[modifier] Pseudo-démonstration via des équations et confusion condition nécessaire et suffisante

[modifier] Principe

Une autre pseudo-démonstration courante est de restreindre l'ensemble des solutions possibles d'une équation puis d'affirmer qu'un des éléments de l'ensemble est racine. Cela revient à faire l'erreur de logique suivante : $(A \Rightarrow B) \Leftrightarrow (A \Leftarrow B)$ .

Elle se déroule ainsi :

étude de l'équation (restriction de l'ensemble des solutions possibles à un faible nombre, une ou deux) ;
affirmation de l'ensemble des solutions possibles comme ensemble des solutions ;
test de l'une des supposés racines et résultat absurde.

[modifier] Exemple

Exemple

[modifier] Pseudo-démonstration via des racines carrées non définies

[modifier] Principe

Il s'agit ici de l'erreur courante $x^2 = a^2 \Rightarrow x = a$ , l'implication juste étant $x^2 = a^2 \Rightarrow x = \pm \, a$ .

Deux étapes :

écrire une égalité vraie entre carrés ;
appliquer l'implication fausse en écrivant l'égalité sans les carrés (en invoquant une fonction racine non défini, par exemple dans $\mathbb{C}$ ).

On peut généraliser ce principe aux exponentielles complexes en invoquant une fonction logarithme non défini dans l'ensemble de travail, par exemple $\mathbb{C}$ . Les racines carrées s'écrivant $\sqrt{z} = exp(ln(module(z))/2)+i*arg(z)/2)$ dans ce dernier ensemble.

[modifier] Exemples

Exemple

Exemple annexe (via un logarithme)

[modifier] Pseudo-démonstration via une sommation floue

[modifier] Principe

En écrivant une somme de manière floue, c'est à dire non pas de manière formelle :

$S = \sum_{k=1}^n k$

mais avec des points de suspensions :

$S = 1 + \ldots + n$

la variable muette de sommation (notée ici k) est véritablement passée sous silence et le manque de formalisme des points de suspensions sert à masquer l'erreur.

Méthodologie :

faire des calculs sur une somme ;
générer une erreur via l'ensemble de définition de la variable muette, autrement dit le nombre de termes ;
aboutissement à un résultat absurde.

[modifier] Variantes

Variante via dérivation

Variante via une suite arithmétique

[modifier] Pseudo-démonstration via un changement de variable non licite lors d'une intégration

[modifier] Principe

Lorsque l'on effectue un changement de variable lors d'une intégration sur un segment, il faut que le changement de variable soit un $\mathcal C^1$ - difféomorphisme. Si le changement de variable est effectué trop hâtivement, il n'est pas rare de trouver un résultat absurde en fin d'intégration.