Principe variationnel

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

Sommaire 1 Généralités 2 Principe de Fermat 3 Fonction de Hamilton ou Hamiltonien 4 Principe de Hamilton ou principe de moindre action de Lagrange 5 Principe de Maupertuis ou principe de moindre action 6 Principe de Gauss ou principe de moindre courbure 7 Comparaison entre mécanique rationnelle et optique géométrique 8 Équations de Hamilton 9 Équation de Hamilton-Jacobi 10 Systèmes conservatifs 11 Théorème de Liouville 12 Passage de la mécanique classique à la mécanique ondulatoire 13 Notes 14 Voir aussi 14.1 Bibliographie 14.2 Liens internes 14.3 Liens externes

[modifier] Généralités

Dans de nombreux cas, la résolution des équations de la mécanique peut se ramener à la recherche de géodésiques dans un espace général approprié. D'une part, nous savons que ces géodésiques sont les extrémales d'une certaine intégrale représentant la longueur de l'arc joignant les points fixes dans cet espace. Par conséquent, nous pouvons déjà prévoir qu'au moins dans certains cas, les problèmes de mécanique pourront s'exprimer comme des problèmes aux variations, autrement dit, en postulant que la variation première d'une certaine intégrale est nulle. On dira qu'on a réduit les problèmes à leur forme variationnelle. D'autre part, les équations d'Euler établies en mathématiques pour un problème aux variations sont semblables aux équations de Lagrange établies en physique pour résoudre des problèmes de mécanique ; cette similitude suggère bien évidemment aussi la possibilité de cette réduction à une forme variationnelle.

Cependant, partir de ces analogies formelles serait, d'un point de vue historique, traiter la question à rebours. Si l'on cherche à tracer l'origine des principes variationnels — que l'on rencontre d'ailleurs aussi dans beaucoup d'autres domaines de la science autres que la mécanique, notamment en optique où le principe de Fermat est justement fameux — on est conduit à remonter très loin dans l'histoire de la pensée, et en tout cas jusqu'aux Grecs de l'Antiquité. Chez eux, l'idée fondamentale de tels principes se trouve tantôt mêlée plus ou moins heureusement à l'expression d'autres principes chers à l'esprit humain, tels que les principes de simplicité, d'ordre, d'uniformité, etc., tantôt exprimée très clairement et parfois même quantitativement comme dans la démonstration, par Héron d'Alexandrie au I^er siècle de notre ère, que le chemin parcouru par un rayon lumineux issu d'un point A et arrivant en un point B après réflexion par un miroir plan ou sphérique est le plus court possible. Et déjà Aristote, au IV^e siècle avant notre ère, justifiait le mouvement circulaire en remarquant que de toutes les courbes qui entourent une aire donnée, la circonférence est celle qui possède la longueur minimum.

Héron comme Aristote voulaient voir dans ces propositions de véritables explications. Nous sommes aujourd'hui tentés de sourire quand, en lisant le détail de leurs écrits, nous reconnaissons parmi les propriétés invoquées un grand nombre de traits anthropocentriques. En réalité, ce dernier caractère est fort révélateur et pointe sans doute vers la source réelle de ces principes : pourquoi la Nature, comme nous-mêmes, ne tendrait-elle pas à réaliser un phénomène donné, comme nous poursuivons un but donné, par les moyens les plus simples, les plus faciles qui demandent un minimum d'efforts ou de dépenses ? Considérés ainsi, les principes variationnels ont une origine philosophique plutôt que scientifique.

Certes, nous avons appris à nous méfier de cet anthropocentrisme mais au fond, en face de problèmes nouveaux, l'homme bien souvent n'a guère d'autre recours possible. Et quand nous croyons nous en éloigner, ce n'est parfois qu'en apparence : quand les idées de simplicité ou de perfection invoquées par les Anciens jusques et y compris Copernic pour expliquer le mouvement des planètes sont remplacées par l'idée de force inversement proportionnelle au carré de la distance, nous avons définitivement gagné quelque chose et nous pouvons obtenir un bien meilleur accord entre observation et théorie. Cependant, y a-t-il une notion plus anthropocentrique que celle de force ? Et la nature profonde de l'influence gravifique et de son mode d'action qui inquiétait déjà Newton n'est guère plus élucidée aujourd'hui que de son temps. En fait, avec la théorie de la Relativité générale, n'avons-nous pas assisté assez récemment à un retournement des choses, la notion de force étant remplacée par celle d'une courbure de l'espace-temps, fonction de la répartition des masses ? On remarquera que les trajectoires dans ce « champ gravifique » matérialisé par l'espace-temps sont à nouveau définies par des géodésiques qui elles-mêmes sont à nouveau régies par un « principe de minimum ou de facilité ».

Peut-être d'ailleurs cette attitude anthropocentrique est-elle justifiée, au moins jusqu'à un certain point : ne faisons-nous pas tous, comme tout objet ou entité matérielle, partie de la Nature et ne sommes-nous pas conditionnés par ses lois ? Pourquoi, dès lors, certains aspects de notre comportement ou de notre psychisme ne pourraient-ils nous suggérer des méthodes ou des points de vue utiles pour l'étude du monde, même s'il s'agit du monde inanimé ? Bien souvent nous commettons des erreurs lorsque nous retournons notre pensée entièrement sur nous-mêmes et voulons dériver de notre propre étude toutes nos connaissances et toutes nos certitudes. Mais, tempérés par l'observation du monde extérieur — et quelle que puisse être leur justification profonde — les principes variationnels en tant que principes scientifiques généraux se sont avérés extrêmement féconds et, indépendamment des équivalences formelles avec d'autres développements théoriques, ont permis de traiter de nombreux problèmes pratiques posés par la mécanique et la physique. De plus, c'est souvent par le truchement de leur expression mathématique que nous saisissons le mieux et le plus globalement une loi de la Nature, ou une série de lois, si bien que ces principes variationnels représentent encore une économie de pensée considérable.

[modifier] Principe de Fermat

Bien qu'on puisse suivre la trace des principes variationnels d'une façon quasi continue de l'Antiquité à nos jours, il faut attendre plus d'un millénaire et demi — de Héron d'Alexandrie (vers la fin du I^er siècle ou le début du II^e siècle) au XVII^e siècle — jusqu'à Pierre de Fermat (1601–1665) pour en retrouver une application pratique. Le principe de Fermat, applicable aux rayons lumineux, peut s'écrire comme suit en tenant compte des perfectionnements intervenus depuis l'époque de Fermat lui-même :

[Eqn.001]      δ ∫_P→Q v^–1 ds,

où P et Q sont deux points fixes, v désigne la vitesse de phase de la lumière et ds est l'élément d'arc du trajet emprunté par le rayon lumineux. La vitesse de phase, autrement dit la vitesse de propagation, de la lumière peut varier avec le point considéré, mais non avec la direction du rayon en ce point.^[1] Cette équation exprime que la variation (indiquée par la lettre grecque δ) de l'intégrale curviligne ∫_P→Q v^–1 ds est nulle, c'est-à-dire que la différence entre cette intégrale évaluée le long de la trajectoire réelle et l'intégrale évaluée le long de n'importe quelle trajectoire virtuelle infiniment voisine est un infiniment petit du second ordre. Il faut noter que ceci ne signifie pas que l'intégrale est minimum, mais seulement qu'elle est extrémum. En effet, c'est seulement dans le cas où le trajet PQ est suffisamment petit, de manière à ce que des rayons « voisins » ne puissent recouper le rayon réel, que l'on peut démontrer qu'il s'agit effectivement d'un minimum.

Seulement la propriété que la première variation est nulle peut être étendue à un trajet PQ arbitraire, d'où le nom moderne de « principe variationnel » plutôt que celui, ancien, de « principe de minimum ». Et il faut bien reconnaître que cette modification de terme et d'interprétation fait perdre au principe de Fermat, sinon de son utilité, au moins un peu de la valeur esthétique et philosophique qui a indéniablement joué un rôle dans son élaboration.

L'étude de certains systèmes optiques simples permet d'illustrer le problème. En effet, représentons le milieu hétérogène étudié par un de ces systèmes optiques. Dans cet exemple, l'image du point P, c'est-à-dire le lieu des points de rencontre de tous les rayons issus de P sous des angles légèrement différents, est constituée de deux focales EF et GH dont la distance caractérise l'astigmatisme du système. On peut alors montrer que l'intégrale curviligne ∫_P→Q v^–1 ds est minimale si le second point considéré, à savoir Q, tombe avant les deux focales, qu'elle est maximale si Q tombe après les deux focales, et qu'elle satisfait à une condition mixte (elle n'est ni un minimum, ni un maximum) si Q tombe entre les deux focales.

[modifier] Fonction de Hamilton ou Hamiltonien

Le principe de Fermat est un principe variationnel particulièrement utile à l'optique géométrique. Pour résoudre des problèmes de mécanique, on utilise des principes variationnels faisant intervenir la fonction de Hamilton, que l'on désigne le plus souvent sous le terme de « Hamiltonien ». Pour arriver à comprendre le sens de cette fonction, considérons un problème à liaisons holonomes mais pouvant dépendre du temps t et qui admet le Lagrangien

[Eqn.002]      L(q^k, q'^k, t) = T(q^k, q'^k, t) – V(q^k, t),    avec^[2]   q'^k = dq^k/dt,

et étudions la valeur que prend l' intégrale d'action

[Eqn.003]      W = ∫_to→t1 L(q^k, q'^k, t) dt

au cours de l'évolution du système mécanique considéré.

Supposons qu'au cours du mouvement naturel du système, le point représentatif dans l'espace de configuration parte d'une position initiale Q_o à l'instant t_o pour aboutir au point Q₁ à l'instant t₁. Cette trajectoire naturelle est représentée schématiquement sur la figure ci-contre par la courbe en rouge. Considérons un mouvement arbitraire partant de P_o voisin de Q_o à l'instant t_o + δt_o pour aboutir au point P₁ voisin de Q₁ à l'instant t₁ + δt₁.

Nous désirons comparer les valeurs de W pour ces deux mouvements. Pour ce faire, nous calculons la variation de W, c'est-à-dire

[Eqn.004]      δW = δ∫_to→t1 L dt = ∫_{(Po, to+δto)→(P1, t1+δt1)} L dt – ∫_{(Qo, to)→(Q1, t1)} L dt.

Au point M de coordonnées (q¹,q²,...,q^f), atteint sur la trajectoire naturelle à l'instant t, nous associerons sur la trajectoire virtuelle arbitraire le point M' de coordonnées (q¹+δ'q¹,q²+δ'q²,...,q^f+δ'q^f) atteint également au même instant t. Soit Q'_o le point de la trajectoire variée, c'est–à-dire infiniment voisine de la trajectoire naturelle, atteint à l'instant t_o, et soit Q'₁ celui qui correspond à l'instant t₁. Notons les composantes de Q_oP_o, Q_oQ'_o, Q'_oP_o par δq_o^k, δ'q_o^k, Δq_o^k = (dq_o^k/dt) δt_o, respectivement, et celles de Q₁P₁, Q₁Q'₁, Q'₁P₁ par δq₁^k, δ'q₁^k, Δq₁^k = q'₁^k δt₁, respectivement.

La vitesse q'₁^k sur la trajectoire variée ne diffère de celle sur la trajectoire réelle que par une quantité infiniment petite, laquelle ne donnerait dans Δq₁^k qu'une correction du second ordre. En séparant les intégrations sur les segments terminaux Q'_oP_o et P₁Q'₁, nous obtenons :

[Eqn.005]      δW = [L₁δt₁]_Q'1P1 – [L_oδt_o]_Q'oPo + ∫_{(Q'o, to)→(Q'1, t1)} L dt – ∫_{(Qo, to)→(Q1, t1)} L dt = [L₁δt₁]_Q'1P1 – [L_oδt_o]_Q'oPo + ∫_to→t1 δ'L dt.

L'intégrand δ'L dans la dernière intégrale est calculé entre des points des deux trajectoires correspondant aux mêmes instants t. On trouve que l'intégrale ∫_to→t1 δ'L dt vaut^[3]

[Eqn.006]      ∫_to→t1 δ'L dt = ∑_k [(∂L/∂q'^k) δ'q^k]₁ – ∑_k [(∂L/∂q'^k) δ'q^k]_o + ∫_to→t1 ∑_k [∂L/∂q^k – d(∂L/∂q'^k)/dt] δ'q^k dt.

En introduisant les moments conjugués p_k aux coordonnées généralisées contravariantes q^k, qui représentent les composantes covariantes de la vitesse, et en se souvenant que selon les équations de Lagrange,^[4] l'expression figurant entre crochets dans le dernier terme est nulle, on trouve finalement

[Eqn.007]      δW = [L₁δt₁]_Q'1P1 – [L_oδt_o]_Q'oPo + ∫_{(Q'o, to)→(Q'1, t1)} L dt + Σ_k p_k,1 δ'q^k₁ –  Σ_k p_k,o δ'q^k_o.

Comme δ'q₁ = Q₁Q'₁ = Q₁P'₁ – Q'₁P'₁, il vient en termes de composantes : δ'q^k₁ = δq^k₁ – Δq^k₁ = δq^k₁ – q'^k₁ δt₁ et de même δ'q^k_o = δq^k_o – Δq^k_o = δq^k_o – q'^k_o δt_o. Dès lors, utilisant ces relations, on trouve sous forme condensée^[5]

[Eqn.008]      δW = [ Σ_k p_k δq^k – H δt ]_o¹,

en définissant la fonction de Hamilton (ou le Hamiltonien)

[Eqn.009]      H = Σ_k p_k q'^k – L(q^k,q'^k,t).

La fonction de Hamilton joue un rôle essentiel dans les principes généraux de la mécanique.

[modifier] Principe de Hamilton ou principe de moindre action de Lagrange

Si nous admettons que toutes les trajectoires variées passent par les mêmes extrémités Q_o, Q₁ au même instant t_o, t₁ que la trajectoire réelle, la variation de l'intégrale d'action W s'annule :

[Eqn.010]      δW = ∫_to→t1 L dt = ∫_to→t1 Σ_k [∂L/∂q^k – d (∂L/∂q'^k)/dt] δ'q^k dt = 0

d'après les équations de Lagrange. Inversément, si

[Eqn.011]      δ∫_to→t1 L dt = 0,

il faut que les équations de Lagrange soient satisfaites, puisque les δ'q^k sont des quantités petites arbitraires. On peut encore en conclure que les équations d'Euler du problème aux variations sont identiques aux équations de Lagrange. Dès lors, le principe de Hamilton peut s'énoncer comme suit : Un système se meut d'une configuration à une autre de telle façon que la première variation de l'action

∫_to→t1 L(q₁,q₂,...,q_f,dq₁/dt,dq₂/dt,...,dq_f/dt,t) dt

entre la trajectoire naturelle effectivement suivie et toute trajectoire virtuelle infiniment voisine ayant les mêmes extrémités dans l'espace et dans le temps soit nulle.

Ce principe possède une importance considérable qui dépasse l'équivalence formelle entre deux formulations mathématiques équivalentes du même problème. Ceci a d'ailleurs aussi son intérêt : par exemple, cette forme reste évidemment vraie dans n'importe quel système de coordonnées et, partant, on peut en déduire immédiatement l'invariance des équations de Lagrange pour toute transformation de coordonnées

q'ⁱ = q'ⁱ(q¹,q²,...,q^f),       i=1,2,...,f.

Mais surtout, ce principe ouvre la voie à une description de systèmes non-mécaniques par les méthodes mathématiques de la mécanique classique, comme dans la théorie des champs.

[modifier] Principe de Maupertuis ou principe de moindre action

Le principe de moindre action de Maupertuis est la forme particulière que prend le principe de Hamilton pour les systèmes conservatifs à liaisons holonomes indépendantes du temps. Sous ces conditions, le potentiel s'écrit

V = V(q^k),      k=1,2,...f,

et l'énergie cinétique devient

T = ½ Σ_i,j a_ij(q^k) (dqⁱ/dt) (dq^j/dt),      i,j,k=1,2,...f.

Dans ce cas, l'intégrale d'énergie prend la forme

E = T + V = constante

et on en tire

L = T – V = 2 T – E

ainsi que

H = Σ_k p_k dq^k/dt – L = Σ_k [∂T/∂(dq^k/dt)] (dq^k/dt) – L = 2 T – L = T + V = E.

[modifier] Principe de Gauss ou principe de moindre courbure

[modifier] Comparaison entre mécanique rationnelle et optique géométrique

[modifier] Équations de Hamilton

[modifier] Équation de Hamilton-Jacobi

[modifier] Systèmes conservatifs

[modifier] Théorème de Liouville

[modifier] Passage de la mécanique classique à la mécanique ondulatoire

[modifier] Notes

[modifier] Voir aussi

[modifier] Bibliographie

• H. Goldstein (1980). Classical Mechanics (Second Edition), Addison-Wesley Publishing Company, Reading, Massachusetts. ISBN 0-201--02969-3.

[modifier] Liens internes

• Calcul variationnel
• Principe variationnel en physique quantique

[modifier] Liens externes

Portail des mathématiques – Accédez aux articles de Wikipédia concernant les mathématiques.

Portail de la physique – Accédez aux articles de Wikipédia concernant la physique.

Portail Géodésie et Géophysique — Accédez aux articles de Wikipédia concernant la géodésie et la géophysique.